Главная > Математика > Математический анализ. Интегральное исчисление
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Для определенного интеграла формула интегрирования по частям принимает следующий вид:

В самом деле, если

то по формуле интегрирования по частям для неопределенного интеграла имеем:

Поэтому

и

Значит,

а это и есть формула (4).

Пример 5. Вычислим

Решение. Положим

Воспользовавшись формулой (4), получим:

3. Рекуррентные формулы. Метод интегрирования по частям применяется в ряде случаев для вывода рекуррентных (возвратных) формул. Рассмотрим примеры вывода рекуррентных формул как в случае неопределенного, так и в случае определенного интеграла,

Пример 6. Вычислим

Решение. Введем обозначение

(см. скан)

Полученная рекуррентная формула (6), как бы возвращая нас назад от позволяет свести вычисление интеграла с индексом к вычислению интеграла с меньшим индексом

Пусть, например, нужно вычислить интеграл Воспользуемся рекуррентной формулой (6). В данном случае следовательно, Имеем:

Для определенных интегралов рекуррентные формулы часто упрощаются за счет того, что при подстановке пределов интегрирования а и b выражение обращается в нуль.

Пример 7. Вычислим

Решение. Введем обозначение

Воспользовавшись формулой (4), получим:

(см. скан)

Таким образом, рекуррентная формула (7) позволяет свести вычисление интеграла к вычислению интеграла, где имеет более низкую степень. Например,

Вопросы для самопроверки

1. Какая формула дифференцирования используется при выводе формулы интегрирования по частям?

2 В чем состоит метод интегрирования по частям?

3. Как записывается формула интегрирования по частям в случае неопределенного интеграла? В случае определенного интеграла?

4. В чем заключается идея вычисления интегралов по рекуррентным формулам?

5. Что надо принять за , а что за в следующих интегралах: Обоснуйте свой ответ.

Упражнения

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление