Главная > Математика > Математический анализ. Интегральное исчисление
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Вычисление моментов инерции.

Моментом инерции материальной точки А относительно оси называется число где — масса точки, ее расстояние от оси. Аналогично определяется момент инерции относительно точки.

Пусть Г — материальная линия, линейная плотность которой во всех точках равна единице. Тогда масса элементарного участка этой линии равна его длине а момент инерции такого участка относительно оси абсцисс равен Интегрируя, получаем момент инерции относительно оси абсцисс всей линии:

Так же доказывается, что

и

где — момент инерции относительно начала координат. Отсюда следует, в частности, что

Если линия Г задана параметрическими уравнениями

то

Аналогичные формулы справедливы для

Перейдем к вычислению моментов инерции криволинейной трапеции. Будем считать, что ее поверхностная плотность равна единице. Сначала найдем момент инерции прямоугольника со сторонами и относительно стороны Разобьем его на элементарные прямоугольники со сторонами и (см. рис. 61). Площадь (а потому и масса) каждого такого прямоугольника равна Значит, момент инерции элементарного прямоугольника относительно стороны равен а момент инерции всего прямоугольника относительно этой стороны выражается формулой

Криволинейную трапецию разобьем на элементарные прямоугольники со сторонами Момент инерции каждого из этих прямоугольников относительно оси абсцисс выражается формулой Интегрируя, получаем момент инерции всей криволинейной трапеции относительно оси абсцисс:

Аналогично доказывается, что момент инерции криволинейной трапеции относительно оси ординат выражается формулой

(момент инерции элементарного прямоугольника относительно оси ординат равен )

Полярный момент инерции (т. е. момент относительно начала координат) в этом случае выражается формулой

Рис. 65

Пример 9. Вычислим момент инерции равнобедренного треугольника относительно его основания.

Решение. Расположим оси координат так, как показано на рисунке 65.

Пусть основание треугольника высота Прямая проходит через точки . Ее уравнение

т. е.

Ясно, что момент инерции треугольника относительно оси равен удвоенному моменту инерции треугольника относительно той же оси. Значит,

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление