Главная > Математика > Математический анализ. Интегральное исчисление
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Объем прямого цилиндрического тела.

Пусть — плоская фигура. Восставим в каждой точке этой фигуры перпендикуляр к содержащей ее плоскости и отложим на каждом перпендикуляре отрезок длины (все отрезки располагаются по одну сторону от плоскости). Множество точек этих отрезков образует тело которое называется прямым цилиндрическим телом с основанием и высотой Вторые концы построенных отрезков образуют фигуру конгруэнтную основанию и параллельную ему.

В случае, когда — прямоугольник, прямое цилиндрическое тело является прямоугольным параллелепипедом. Если же — ступенчатая фигура, то — ступенчатое тело, причем оно разлагается на прямоугольные параллелепипеды, имеющие одинаковые высоты. Объем этого ступенчатого тела равен произведению площади фигуры на высоту тела:

Докажем, что формула (1) остается справедливой и в более общем случае. Именно, справедливо следующее утверждение:

Теорема 1. Если плоская фигура А квадрируема, то прямое цилиндрическое тело с основанием А кубируемо, причем его объем равен произведению площади фигуры А на высоту тела:

Доказательство. Не теряя общности, мы можем считать, что плоскость фигуры А является координатной плоскостью Так как по условию фигура А квадрируема, то для любого найдутся ступенчатые фигуры такие, что причем

Построим ступенчатые тела с высотой и основаниями Тогда имеем:

При этом

Таким образом, для любого найдутся ступенчатые тела и такие, что

Поэтому тело кубируемо. При этом, как мы видели,

С другой стороны, из неравенств вытекает, что

Мы видим, что числа разделяют одни и те же множества, а именно где, напомним, — ступенчатые фигуры, содержащиеся в — ступенчатые фигуры, содержащие А. Но эти два множества, в силу квадрируемости , разделяются лишь одним числом. Поэтому

Формула (1) доказана для любых квадрируемых фигур .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление