Главная > Математика > Математический анализ. Интегральное исчисление
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции.

Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции вытекает из общего необходимого и достаточного условия единственности разделяющего числа. Напомним, что если числовое множество расположено справа от числового множества X, то для единственности числа, разделяющего X и необходимо и достаточно выполнение условия

В нашем случае множество X состоит из нижних сумм Дарбу, а множество из верхних сумм Дарбу. Поэтому необходимое и достаточное условие единственности числа, разделяющего эти множества, принимает вид: для любого найдутся верхняя сумма Дарбу и нижняя сумма Дарбу такие, что Эти суммы, вообще говоря, могут соответствовать различным разбиениям отрезка Но в было показано, что если — совместное измельчение разбиений то выполняются неравенства Поэтому из следует

Получаем следующее необходимое и достаточное условие интегрируемости функции.

Теорема 3. Для того чтобы ограниченная функция заданная на отрезке была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы для любого нашлось разбиение Р этого отрезка такое, что где — соответствующие верхняя и нижняя суммы Дарбу.

Рис. 8

условие можно записать и так:

Разность будем обозначать через и называть ее колебанием функции на отрезке Тогда неравенство (5) можно записать так:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление