Главная > Математика > Математический анализ. Интегральное исчисление
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

В предыдущих параграфах речь шла об общих приемах интегрирования. В этом и следующих параграфах мы будем говорить об интегрировании конкретных классов функций с помощью рассмотренных приемов.

1. Интегрирование простейших рациональных функций.

Рассмотрим интеграл вида

где — рациональная функция. Всякое рациональное выражение можно представить в виде

многочлены. Если эта дробь неправильная, т. е. если степень числителя больше или равна степени знаменателя, то ее можно представить в виде суммы многочлена (целая часть) и правильной дроби. Поэтому достаточно рассмотреть интегрирование правильных дробей.

Покажем, что интегрирование таких дробей сводится к интегрированию простейших дробей, т. е. выражений вида:

где — действительные числа, а квадратный трехчлен не имеет действительных корней. Выражения вида 1) и 2) называют дробями рода, а выражения вида 3) и 4) — дробями 2-го рода.

Интегралы от дробей 1-го рода вычисляются непосредственно

Рассмотрим вычисление интегралов от дробей 2-го рода:

Сначала заметим, что

Чтобы свести вычисление интеграла 3) к этим двум интегралам, преобразуем квадратный трехчлен выделив из него полный квадрат:

Так как по предположению этот трехчлен не имеет действительных корней, то и мы можем положить Подстановка преобразует интеграл 3) к линейной комбинации указанных двух интегралов:

(кликните для просмотра скана)

Решение. Имеем:

Введем новую переменную, положив Тогда Заменив переменную под знаком интеграла, получим:

Положим Имеем (см. формулу (6) § 2):

Но

Таким образом,

Окончательно получаем:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление