Главная > Математика > Математический анализ. Дифференциальное исчисление
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Дифференцирование параметрически заданных функций.

Теорема 1. Пусть функция задана параметрически:

и пусть выполнены следующие условия:

1) Функция непрерывна на дифференцируема в , причем для всех

Рис. 92

2) Функция непрерывна на и дифференцируема в

Тогда уравнения (6) определяют функцию непрерывную на отрезке и дифференцируемую внутри этого отрезка, причем при имеем:

Доказательство. Из условия 1) следует, что функция непрерывна и строго возрастает на Поэтому для нее существует обратная функция непрерывная и строго возрастающая на отрезке . Но тогда и эта функция непрерывна на отрезке с концами

Пользуясь формулой для производной сложной функции, найдем:

но так как производная обратной функции вычисляется по формуле (напомним, что по условию ), то окончательно получим:

что и требовалось доказать.

Аналогичная теорема справедлива, если для всех

Пример 6. Найдем для функции, заданной параметрическими уравнениями

Решение. Имеем: на

На данном отрезке 0; выполнены все условия теоремы 1.

Найдем производную у, пользуясь формулой производной параметрически заданной функции:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление