Главная > Математика > Математический анализ. Дифференциальное исчисление
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

1. Возрастание и убывание функций.

В § 1, исходя из геометрических и физических соображений, мы установили связь между знаком производной и характером монотонности функции на промежутке. Теперь соответствующие утверждения будут доказаны.

Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке и если ее производная положительна всюду в интервале то строго возрастает на .

Доказательство. Рассмотрим две любые точки связанные неравенством Так как для функции на отрезке выполняются условия теоремы Лагранжа, то имеет место равенство

где точка с лежит между

Так как оба множителя правой части равенства (1) положительны по условию, в силу выбора точек), то

а значит, и

В таком случае , следовательно, функция строго возрастает на , что и требовалось доказать.

Аналогично доказывается следующая теорема.

Теорема 2. Если функция непрерывна на отрезке и если ее производная отрицательна всюду в то строго убывает на

Доказательство этой теоремы предоставляем провести читателю.

Заметим, что в формулировке обеих теорем можно было вместо отрезка взять произвольный промежуток X и потребовать непрерывности функции на X и дифференцируемости ее в любой внутренней точке промежутка X.

Теорема 1 (теорема 2) остается справедливой и в случае, когда причем производная не обращается тождественно в нуль на каком-либо отрезке из рассматриваемого промежутка X. В самом деле, пусть Если всюду в X, то из равенства (1) следует Предположим, что Так как при выполняются неравенства то на основании равенства получим Тогда функция постоянна на

и потому ее производная вопреки условию обращается в нуль на целом отрезке. Значит, и потому функция строго возрастает на промежутке X.

До сих пор, говоря о возрастании или убывании функции, мы придавали этим понятиям глобальный смысл, т. е. рассматривали возрастание или убывание функции на промежутке. Иногда полезно локальное рассмотрение этих понятий. Сформулируем соответствующие определения.

Функция называется возрастающей в точке если существует окрестность точки такая, что функция определена в этой окрестности и знак приращения функции в этой окрестности совпадает со знаком приращения аргумента.

Функция называется убывающей в точке если существует окрестность точки такая, что функция определена в этой окрестности и знак приращения функции в этой окрестности противоположен знаку приращения аргумента.

Мы знаем (см. лемму о знаке приращения функции), что если то в некоторой окрестности точки знаки совпадают.

Таким образом, если функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке положительную производную то функция возрастает в точке

Аналогичные рассуждения приводят к условию убывания функции в точке: если функция определена в некоторой окрестности точки то убывает в точке

В точках, где производная обращается в нуль, локальное поведение функции может быть любым. Например, функция возрастает на всей числовой прямой (глобально), значит, она возрастает и в точке (локально), но при Функция убывает на всей числовой прямой, значит, и в точке но — стационарная точка. Наконец, для функции стационарной является точка но в этой точке нет ни возрастания, ни убывания функции (это — точка экстремума).

Не следует отождествлять понятия возрастания (убывания) функции в точке с понятиями возрастания (убывания) функции в окрестности точки. Рассмотрим для примера функцию

Вычислим производную этой функции в точке Имеем:

Так как

Таким образом, Значит, Отсюда следует, что рассматриваемая функция возрастает в точке Покажем теперь, что эта функция не возрастает ни в какой окрестности точки

Рис. 39

График функции изображен на рисунке 39. Видно, что она по мере приближения к точке бесконечно много раз переходит от возрастания к убыванию и обратно. В этом можно убедиться, вычислив производную функции в точке :

В точках, где достаточно близко к имеем в этих точках функция убывает. В точках же, где имеем и функция в них возрастает. Поскольку в любой окрестности точки есть точки и того и другого вида, то нельзя говорить о направлении изменения функции в окрестности точки можно говорить лишь о ее возрастании в самой этой точке.

Если потребовать не только существования производной в точке но и ее непрерывности в этой точке, то из неравенства будет следовать существование окрестности точки в которой Тогда в этой окрестности функция будет строго возрастать. В рассмотренном примере производная в точке разрывна, так как не существует.

Пример 1. Исследуем на монотонность функцию и построим ее график.

Решение. Имеем:

На луче на интервале а на луче Значит, наша функция возрастает на лучах и убывает на интервале

Для построения графика найдем несколько контрольных точек. Прежде всего отметим, что если то а если то (это точки, в которых происходит изменение характера монотонности функции). Кроме того, из уравнения находим точки пересечения графика с осью абсцисс: График изображен на рисунке 40.

Рис. 40

Пример 2. Докажем, что функция убывает на всей числовой прямой.

Решение. Имеем:

Так как при любом выполняется неравенство и так как, кроме того, равенство выполняется только в одной точке то на всей числовой прямой , причем в одной точке. Значит, по теореме 2 функция убывает на всей числовой прямой.

Пример 3. Покажем, что уравнение имеет только один действительный корень.

Решение. Рассмотрим функцию и найдем ее интервалы монотонности. Имеем: . Производная обращается в 0 в четырех точках: —2, —1, 1, 2. Эти точки разбивают числовую прямую на 5 промежутков: На каждом из указанных промежутков производная сохраняет постоянный знак. Отсюда заключаем, что на каждом из этих промежутков функция монотонна, т. е. или строго возрастает, или строго убывает. Тогда график функции на каждом из указанных промежутков пересекает ось абсцисс не более, чем один раз. Это значит, что функция на каждом из рассматриваемых промежутков может иметь не более одного корня, причем корень функции может быть в том и только в том промежутке, на концах которого функция имеет разные по знаку значения.

Имеем:

Так как имеет различные знаки только на концах интервала то заданное уравнение имеет только один действительный корень, лежащий внутри этого интервала.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление