Главная > Математика > Математический анализ. Дифференциальное исчисление
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Натуральная степень бинома (формула Ньютона).

Пусть дана целая рациональная функция

При получим:

Покажем, что остальные коэффициенты этого многочлена выражаются через производные от в точке

В самом деле, имеем:

Положив в этом равенстве получим:

Продифференцировав обе части равенства (2), будем иметь:

Положив в этом равенстве получим:

Аналогично находим:

Итак, если — многочлен степени, то

Точно так же выводится более общее равенство:

называемое формулой Тейлора для многочлена

Применим формулу (3) к целой рациональной функции

Имеем:

Тогда

Таким образом, по формуле (3) получаем:

Обычно обозначают

Тогда формула (4) перепишется в виде

Полученное равенство называется формулой Ньютона, а коэффициенты — биномиальными.

Отметим некоторые свойства биномиальных коэффициентов. Прежде всего получим более компактное выражение для С. Имеем:

Итак,

Так как

то

Полученное равенство показывает, что биномиальные коэффициенты, равноудаленные от концов разложения по степеням равны между собой.

Положив в равенстве получим:

т. е. сумма биномиальных коэффициентов в разложении равна

Отметим еще одно свойство биномиальных коэффициентов. Для этого умножим обе части равенства (5) на Получим:

С другой стороны, применив к формулу Ньютона, получим:

Сравнивая в равенствах (6) и (7) коэффициенты при одинаковых степенях получаем:

Пример 9. Напишем разложение по степеням для Решение. Имеем:

Вычислим биномиальные коэффициенты:

В итоге получаем:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление