Главная > Математика > Математический анализ. Дифференциальное исчисление
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Механический смысл второй производной.

Выше было установлено, что первая производная пути по временность мгновенная скорость:

Рассматривая производную скорости по времени получим производную второго порядка, выражающую скорость изменения скорости, т. е. ускорение:

Пример 6. Тело движется прямолинейно по закону в метрах, в секундах). Докажем, что тело движется под действием постоянной силы.

Решение. Имеем:

Так как то ускорение постоянно и равно Но по закону Ньютона сила пропорциональна ускорению. Значит, сила постоянна.

Пример 7. Гармоническое колебание описывается законом , где — время, — смещение колеблющейся точки от оси, — постоянные величины (амплитуда, угловая частота и начальная фаза колебаний). Докажем, что закон гармонических колебаний удовлетворяет дифференциальному уравнению

Решение. Имеем:

Тогда

что и требовалось доказать.

Пример 8. Длина вертикально стоящей лестницы равна 5 м. Нижний конец лестницы начинает отодвигаться от стены с постоянной скоростью 2 м/с. С какой скоростью опускается в момент времени с верхний конец лестницы? Чему равно его ускорение в этот момент времени?

Рис. 27

Решение. За с нижний конец лестницы пройдет расстояние По теореме Пифагора (рис. 27) находим, что верхний конец находится в этот момент на высоте а значит, он прошел путь . Это закон движения.

Имеем:

Тогда искомая скорость находится следующим образом:

а искомое ускорение

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление