Главная > Математика > Математический анализ. Дифференциальное исчисление
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Инвариантность формы записи дифференциала.

Мы первоначально определили дифференциал функции формулой

а затем, положив по определению получили следующую запись:

Переход ко второму виду записи дифференциала делается потому, что формула (5) остается верной и в случае, когда — промежуточная переменная, в то время как формула (4) в этом случае становится неверной.

Докажем, что если — композиция двух дифференцируемых функций то

Так как — независимая переменная, то Воспользовавшись формулой производной композиции функций, получим:

Но значит,

Таким образом, форма дифференциала сохранилась: дифференциал функции имеет один и тот же вид как в том случае, когда — независимая переменная, так и тогдау когда — промежуточная переменная, а именно, он равен произведению производной на дифференциал того аргумента, по которому взята производная.

Следует, однако, иметь в виду принципиальное различие между двумя рассмотренными случаями: если — независимая переменная, то и потому не зависит от если — промежуточный аргумент то и зависит от Только в случае, когда — линейная функция, не зависит от

Доказанное свойство называют инвариантностью формы дифференциала.

Запись свойством инвариантности не обладает. Если — промежуточная переменная, то и потому

Получившееся выражение отличается от слагаемым

Пример 4. Найдем дифференциал функции : 1) в случае, когда — независимая переменная; 2) в случае, когда

Решение. 1) Имеем:

2) Воспользовавшись инвариантностью формы дифференциала, получим:

Далее имеем:

Вопросы для самопроверки

1. Как определяется композиция функций?

2. Сформулируйте теорему о дифференцируемости сложной функции.

3. Как вычисляется производная сложной функции?

4. Что означает фраза «инвариантность формы дифференциала»?

5. Обладает ли свойством инвариантности формула

6. Для функций вычислите если

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление