Главная > Интеллектуальные системы > Введение в статистическую теорию распознавания образов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.1.3. Параметры распределения.

Случайный вектор X полностью характеризуется его функцией распределения вероятностей или плотностью вероятности. Однако часто эти функции не могут быть легко определены или их математические выражения оказываются слишком сложными для использования на практике. Поэтому иногда предпочтительнее воспользоваться менее подлыми, но проще вычисляемыми характеристиками случайного вектора.

Вектор математического ожидания.

Одной из наиболее важных числовых характеристик случайного вектора X является вектор математического ожидания или среднее значение случайного вектора X.

Определение. Вектор математического ожидания случайного вектора X определяется выражением

где областью интегрирования является все пространство векторов X.

Значение компоненты вектора М можно вычислить по формуле

где - маргинальная плотность вероятности компоненты вектора X:

Таким образом, каждая компонента вектора М действительно вычисляется как математическое ожидание отдельной переменной по маргинальной одномерной плотности вероятности.

Определение. Условный вектор математического ожидания случайного вектора X при фиксированном значении У равен

Это определение получается из (2.24), если заменить на условную плотность

Дисперсия.

Другим важным набором числовых характеристик распределения является множество элементов ковариационной матрицы, характеризующих дисперсию распределения.

Определение. Ковариационная матрица определяется выражением

Элементами этой матрицы являются числа

Диагональными элементами ковариационной матрицы являются

дисперсии отдельных случайных величин, а недиагональными элементами — ковариации пары случайных величин Следует отметить, что ковариационная матрица является симметричной. Это свойство позволяет в дальнейшем применять результаты из теории симметрических матриц.

Соотношение (2.28) часто преобразуют к следующему виду:

где

Вычисление (2.30) производится непосредственно. Выражение называют автокорреляционной матрицей или, иногда, матрицей разброса вектора X. Уравнение (2.30) выражает связь между ковариационной матрицей и автокорреляционной матрицей

II показывает, что они по существу содержат одинаковое количество информации.

Иногда удобно нормировать ковариационную матрицу, преобразуя ее элементы в коэффициенты корреляции по формуле:

Тогда

где

и

Таким образом, матрицу 2 можно представить комбинацией двух матриц: диагональной матрицы дисперсий и матрицы коэффициентов корреляции. Будем называть корреляционной матрицей. Так как дисперсии зависят от масштаба системы координат, то корреляционная матрица содержит существенную информацию о взаимосвязях между случайными величинами.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление