Главная > Интеллектуальные системы > Введение в статистическую теорию распознавания образов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.5.1. Последовательный критерий Вальда.

Последовательный критерий проверки гипотез Вальда можно реализовать следующим образом. Пусть — последовательно наблюдаемыег независимые и одипаково распределенные случайные векторы. Для каждого можно вычислить отношение правдоподобия

являющееся случайной величиной. После к наблюдений отношение правдоподобия будет равно

Математические ожидания и дисперсии отношения правдоподобия для классов имеют вид

так как также являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами. Таким образом, с ростом к увеличивается, если и уменьшается, если . Увеличение пропорционально и происходит медленнее, чем возрастание Кроме того, при больших в соответствии с центральной предельной теоремой, плотность вероятности отношения правдоподобия стремится к плотности нормального распределения. На рис. 3.8 изображено изменение математического ожидания и среднеквадратичного отклонения о в зависимости от числа наблюдений к.

Если установить решающее правило следующим образом:

то можно отнести объект X с вероятностью 1 к классу или [Вальд, 1947]. Кроме того, при этом ошибки классификации зависят от значений a и b, т. е. при увеличении абсолютных значений вероятности ошибки классификации уменьшаются, а количество наблюдений, требуемое для принятия решений, увеличивается. Соотношение между значением порога и ошибками классификации можно выразить следующим образом:

Для любых значений вероятностей опнтбгш теоретически можно определить значения из выражении (3.134) и (3.135).

Простой способ нахождения пороговых значений был предложен Вальдом. Этот способ заключается в следующем: при наблюдении проверяется отношение правдоподобия

Поэтому

Рис. 3.8. Математическое ожидание и дисперсия отношения правдоподобия и в зависимости от числа наблюдений к:

Левая часть выражения (3.137) содержит все векторы X, принадлежащие классу и классифицирует их правильно. Следовательно, левая часть (3.137) равна . С другой стороныг правая часть выражения (3.137) содержит все векторы X, принадлежащие классу но классифицированные как принадлежащие классу Следовательно, правая часть (3.137) равна Используя те же самые соображения, можно получить, что левая и правая части выражения (3.138) соответственно будут равны и Тогда уравнения (3.137) и (3.138) можно переписать следующим образом:

или

Таким образом, для любых заданных значений вероятпостп ошибки и выражений (3.141) и (3.142) можно получить пороговые значения А и В.

Если вместо отношения правдоподобия использовать выражение — то для пороговых значений имеют место соотношения:

Если приращения отношения правдоподобия невелики, то и случае, когда выбирается класс отношение правдоподобия незначительно превысит пороговые значения А и В. При этом приведенные выше неравенства становятся приближенными равенствами, а пороговые значения А и В приближенно определяются выражениями Другими словами вероятности ошибки и можно выразить через пороговые значения А и В следующим образом:

В заключение можно сделать некоторые замечания, касающиеся свойств последовательного критерия Вальда:

1) Для получения уравнений (3.141) и (3.142) не требуется независимости и равенства распределений случайных векторов

2) Можно доказать, что критерий Вальда сходится с вероятностью 1 [Вальд, 1947].

3) Критерий Вальда минимизирует среднее количество наблюдений, требуемых для достижения заданных значений вероятностей ошибки [Вальд, Вольфович, 1948].

4) Критерий Вальда не зависит от априорных вероятностей хотя вероятности ошибки и зависят от

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление