Главная > Интеллектуальные системы > Введение в статистическую теорию распознавания образов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.4.2. Положительная определенность.

Теорема. Если все собственные значения матрицы положительны, то является положительно определенной матрицей.

Доказательство. Рассмотрим квадратичную форму

Без ограничения общности можно записать вектор X как , где Ф — любая ортонормированпая матрица. В частности, пусть Ф является матрицей собственных векторов матрицы . В таком случае

где — собственные значения матрицы Если все эти собственные значения являются положительными числами, то квадратичная форма будет принимать положительные значения, если только У не является нулевым вектором. Но из соотношения между векторами У и X следует, что квадратичная форма должна быть положительной также и для всех ненулевых векторов X. Поэтому — положительно определенная матрица.

Пример 2.15. Пусть — диагональная матрица, полученная из ковариационной или автокорреляционной матрицы в результате соответствующего ортонормированного преобразования. Тогда собственные значения являются дисперсиями, или вторыми моментами выборки. Поэтому все Я должны быть положительными числами, а ковариационная и автокорреляционная матрицы — положительно определенными матрицами.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление