Глава 10. ГЕТЕРОТИЧЕСКИЕ СТРУНЫ И КОМПАКТИФИКАЦИЯ

§ 10.1. КОМПАКТИФИКАЦИЯ

Одна из серьезных проблем, с которыми сталкивается теория струн, заключается в описании перехода от 26- и 10-мерной теорий к реалистичной -мерной теории. До тех пор пока такая размерная редукция не будет выполнена, теория не может претендовать на сколько-нибудь серьезное описание физической реальности.

Пока размерная редукция не выполнена в рамках полевой теории, наилучшее, что можно сделать, - это рассмотреть классические решения, описывающие спонтанную компактификацию дополнительных измерений. В этой главе мы будем исследовать гетеротическую струну с группами возникающими в результате компактификации 26-мерного пространства к 10 измерениям.

Как мы видели в предыдущей главе, сокращение аномалий возможно для групп Мы видели, однако, что метод Чана-Патона не работает для исключительных групп. Поэтому для получения модели с группой необходимо применить другой метод, использующий компактификацию на автодуальную решетку. Хотя теория гетеротических струн является теорией замкнутых струн, она содержит поле супер-Янга-Миллса, возникающее обычно в секторе открытой струны для струн типа I.

В теории гетеротических струн используется обманчиво простое тождество

Это означает, что при компактификации 26-мерной струны к 10-мерной остается 16 дополнительных измерений, которые могут быть помещены на тор, генерируемый корневой решеткой группы что приводит, как известно, к свободной от аномалий теории. Это наблюдение было сделано Фройндом [1].

В гетеротической струне используется тот факт, что замкнутая струна имеет два независимых сектора: правый и левый. В правом секторе все функции зависят от , а в левом от . Это расщепление существенно используется в теории гетеротических струн. Слово «гетерозис» означает «гибридная сила (энергия)». Здесь это означает, что асимметричный подход к левым и правым модам приводит к гибридной теории, значительно более сложной, чем изучавшиеся ранее суперструны типа I и II. Было показано, что эта теория не имеет тахионов, безаномальна и является конечной в однопетлевом приближении.

Прежде чем начать обсуждение гетеротической струны, опишем процесс компактификации на простейшем примере скалярной частицы

в периодическом одномерном пространстве. Это означает, что мы делаем отождествление

где R - радиус этого пространства, являющегося одномерной вещественной осью, факторизованной по одномерной решетке Г длины

Поле, определенное в этом периодическом пространстве, должно поэтому удовлетворять условию

Это означает, что оно может быть разложено по периодическим собственным функциям:

Здесь

где -произвольное целое число. Таким образом, видим, что соответствующий координате х импульс квантуется в терминах целых чисел. Это является характерной чертой всех компактификаций.

Обобщим теперь это на частицу в -мерном пространстве-времени, пятая координата которого свернулась в окружность и стала периодической. Рассмотрим скалярное поле, удовлетворяющее безмассовому уравнению Клейна-Гордона:

Как и выше, можно разложить скалярное поле по периодическим собственным функциям:

где Заметим, что каждая собственная функция может изменить эффективную «массу» в операторе Клейна-Гордона:

Из этих простых примеров может быть сделано несколько выводов:

(1) Компактификация дополнительного измерения приводит к квантованию импульса, соответствующего компактифицированной координате. Компоненты импульса становятся целочисленными.

(2) Спектр масс в пространственно-временных измерениях, которые не

компактифицированы, сдвинут эффективным «массовым» членом, возникающим из компактифицированных измерений.

(3) Радиусы компактифицированных измерений могут быть совершенно произвольными. Существует большая свобода выбора решетки, на которую мы хотим компактифицировать пространство.

(4) Волновую функцию можно разложить в ряд по периодическим собственным функциям от компактифицированной координаты. В одном измерении это просто синусы или косинусы. При большем числе измерений можно взять сферические гармоники.

Теперь рассмотрим случай компактификации теорий для полей более высокого спина, таких, как общая теория относительности, в которых за счет пятого измерения будет генерироваться поле Максвелла.

Исторически идея компактификации впервые была высказана Калуцей [2-4] , который в своем письме к Эйнштейну в 1919 г. предложил идею объединения электромагнитной теории Максвелла с общей теорией относительности Эйнштейна за счет расширения пространства-времени до пяти измерений. Калуца предложил записать метрический тензор в виде

где компоненты пятимерного метрического тензора выражаются через компоненты А потенциала электромагнитного поля и компоненты четырехмерного метрического тензора:

Предположим, что пятое измерение экспериментально ненаблюдаемо из-за того, что оно свернуто в очень маленькую окружность. Поэтому пятая координата периодична:

То есть, проходя расстояние вдоль пятого измерения, мы приходим в ту же самую начальную точку. Исходное пятимерное риманово многообразие теперь расщепляется в прямое произведение:

Предположим, что радиус пятого измерения является таким маленьким, что он не может быть измерен. Следовательно, можно положить

При таком дополнительном предположении уравнения сильно упрощаются. Вариация метрики, например, обычно имеет вид

Когда длина окружности пятого измерения мала, мы имеем

Записанное в терминах (10.1.11), это сводится к

что есть в точности калибровочное преобразование электромагнитного поля группы Поскольку существует только одно -мерное действие, имеющее группу симметрии и содержащее производные не выше второго порядка, мы приходим к выводу, что теория Эйнштейна, записанная в пяти измерениях, сводится к теории Максвелла, соединенной с четырехмерной теорией гравитации. Например, в этом приближении можно точно вычислить некоторые из символов Кристоффеля:

Следовательно, в этом приближении можно редуцировать пятимерную теорию Эйнштейна явно. Находим

Таким образом, электромагнитное поле в четырехмерном пространстве возникает в результате компактификации пятимерной теории гравитации.

Аналогично можно обобщить этот результат на -мерное многообразие, содержащее в качестве подмногообразия компактифицированное многообразие меньшей размерности Р:

Если это так, то можно проанализировать калибровочную группу, возникающую в результате этого разбиения, и можно получить ортогональные или унитарные группы. Можно показать, что на этом пути теория Янга-Миллса возникает из многомерной теории гравитации.

Хотя формализм Калуцы-Клейна элегантно объединяет теорию Янга-Миллса и теорию гравитации в рамках одной конструкции, этот подход имеет серьезный недостаток, относящийся еще к первоначальному варианту Калуцы, а именно: почему пятое измерение вдруг скручивается в крошечную окружность? Предположение Клейна о том, что компактификация в окружность с радиусом, равным планковской длине, происходит в силу квантовомеханических причин, было важным» но вопрос о том, как это происходит, остался без ответа. С это проблемой, впервые возникшей 65 лет назад, мы все еще сталкиваем в теории суперструн.

Далее мы хотим обсудить вопрос компактификации в рамках теории струн [5], которая должна быть редуцирована от 26 или 10 к 4 измерениям. Сначала изучим компактификацию координаты открытой струны:

Как и выше, периодичность координаты приводит к условию квантования импульса, компоненты которого становятся кратны целым числам

где радиус окружности, пробегаемой координатой. Все это в точности совпадает с изложенным выше. Вообще говоря, радиусы компактифицированных измерений не обязаны быть одинаковыми. Как и выше, мы также находим, что из-за компактифицированных измерений спектр масс теории сдвинут. Анализируя гамильтониан, видим, что выражение для масс дается формулой

где оператор массы:

Таким образом, спектр масс сдвинут на величину, пропорциональную сумме квадратов целых чисел, как и в (10.1.9).

Для замкнутой струны, однако, мы имеем дополнительный вклад в массу. Это связано с тем дополнительным усложнением, что замкнутая струна может раз обходить вокруг компактифицированного измерения аналогично тому, как резиновая лента обматывается вокруг Цилиндрической трубки. Важно отметить, что эта конфигурация, приводящая к новому члену в гамильтониане, не имеет аналога в случае компактификации точечных частиц. Поэтому для замкнутой струны мы имеем

В результате компактификации замкнутой струны получаем два целых числа Целое число описывает солитонное состояние струны, Намотанной вокруг компактифицированного измерения целое число раз. Метим, что это солитонное состояние стабильно в силу топологических причин.

Выражение для сдвинутых масс теперь имеет вид

где и являются операторами энергии для двух различных секторов замкнутой струны.

Выше мы обсудили компактификацию (10 —-мерного пространства на тор. Однако эта схема компактификации феноменологически нежелательна, поскольку приводит к суперсимметрии и, следовательно, отсутствию киральных фермионов. Желательно компактифицировать на более сложные пространства, генерируемые, например, решетками групп Ли (см. приложение). Вернемся к гетеротической струне, где используется компактификация на тор, генерируемый решеткой группы или