Макеты страниц Глава 10. ГЕТЕРОТИЧЕСКИЕ СТРУНЫ И КОМПАКТИФИКАЦИЯ§ 10.1. КОМПАКТИФИКАЦИЯОдна из серьезных проблем, с которыми сталкивается теория струн, заключается в описании перехода от 26- и 10-мерной теорий к реалистичной Пока размерная редукция не выполнена в рамках полевой теории, наилучшее, что можно сделать, - это рассмотреть классические решения, описывающие спонтанную компактификацию дополнительных измерений. В этой главе мы будем исследовать гетеротическую струну с группами Как мы видели в предыдущей главе, сокращение аномалий возможно для групп В теории гетеротических струн используется обманчиво простое тождество
Это означает, что при компактификации 26-мерной струны к 10-мерной остается 16 дополнительных измерений, которые могут быть помещены на тор, генерируемый корневой решеткой группы В гетеротической струне используется тот факт, что замкнутая струна имеет два независимых сектора: правый и левый. В правом секторе все функции зависят от Прежде чем начать обсуждение гетеротической струны, опишем процесс компактификации на простейшем примере скалярной частицы в периодическом одномерном пространстве. Это означает, что мы делаем отождествление
где R - радиус этого пространства, являющегося одномерной вещественной осью, факторизованной по одномерной решетке Г длины
Поле, определенное в этом периодическом пространстве, должно поэтому удовлетворять условию
Это означает, что оно может быть разложено по периодическим собственным функциям:
Здесь
где Обобщим теперь это на частицу в
Как и выше, можно разложить скалярное поле по периодическим собственным функциям:
где
Из этих простых примеров может быть сделано несколько выводов: (1) Компактификация дополнительного измерения приводит к квантованию импульса, соответствующего компактифицированной координате. Компоненты импульса становятся целочисленными. (2) Спектр масс в пространственно-временных измерениях, которые не компактифицированы, сдвинут эффективным «массовым» членом, возникающим из компактифицированных измерений. (3) Радиусы компактифицированных измерений могут быть совершенно произвольными. Существует большая свобода выбора решетки, на которую мы хотим компактифицировать пространство. (4) Волновую функцию можно разложить в ряд по периодическим собственным функциям от компактифицированной координаты. В одном измерении это просто синусы или косинусы. При большем числе измерений можно взять сферические гармоники. Теперь рассмотрим случай компактификации теорий для полей более высокого спина, таких, как общая теория относительности, в которых за счет пятого измерения будет генерироваться поле Максвелла. Исторически идея компактификации впервые была высказана Калуцей [2-4] , который в своем письме к Эйнштейну в 1919 г. предложил идею объединения электромагнитной теории Максвелла с общей теорией относительности Эйнштейна за счет расширения пространства-времени до пяти измерений. Калуца предложил записать метрический тензор в виде
где компоненты пятимерного метрического тензора выражаются через компоненты А потенциала электромагнитного поля и компоненты
Предположим, что пятое измерение экспериментально ненаблюдаемо из-за того, что оно свернуто в очень маленькую окружность. Поэтому пятая координата периодична:
То есть, проходя расстояние
Предположим, что радиус пятого измерения является таким маленьким, что он не может быть измерен. Следовательно, можно положить
При таком дополнительном предположении уравнения сильно упрощаются. Вариация метрики, например, обычно имеет вид
Когда длина окружности пятого измерения мала, мы имеем
Записанное в терминах (10.1.11), это сводится к
что есть в точности калибровочное преобразование электромагнитного поля группы
Следовательно, в этом приближении можно редуцировать пятимерную теорию Эйнштейна явно. Находим
Таким образом, электромагнитное поле в четырехмерном пространстве возникает в результате компактификации пятимерной теории гравитации. Аналогично можно обобщить этот результат на
Если это так, то можно проанализировать калибровочную группу, возникающую в результате этого разбиения, и можно получить ортогональные или унитарные группы. Можно показать, что на этом пути теория Янга-Миллса возникает из многомерной теории гравитации. Хотя формализм Калуцы-Клейна элегантно объединяет теорию Янга-Миллса и теорию гравитации в рамках одной конструкции, этот подход имеет серьезный недостаток, относящийся еще к первоначальному варианту Калуцы, а именно: почему пятое измерение вдруг скручивается в крошечную окружность? Предположение Клейна о том, что компактификация в окружность с радиусом, равным планковской длине, происходит в силу квантовомеханических причин, было важным» но вопрос о том, как это происходит, остался без ответа. С это проблемой, впервые возникшей 65 лет назад, мы все еще сталкиваем в теории суперструн. Далее мы хотим обсудить вопрос компактификации в рамках теории струн [5], которая должна быть редуцирована от 26 или 10 к 4 измерениям. Сначала изучим компактификацию
Как и выше, периодичность
где
где
Таким образом, спектр масс сдвинут на величину, пропорциональную сумме квадратов целых чисел, как и в (10.1.9). Для замкнутой струны, однако, мы имеем дополнительный вклад в массу. Это связано с тем дополнительным усложнением, что замкнутая струна может
В результате компактификации замкнутой струны получаем два целых числа Выражение для сдвинутых масс теперь имеет вид
где Выше мы обсудили компактификацию (10 —
|
Оглавление
|