Главная > Физика > Введение в теорию суперструн
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава 2. СТРУНЫ НАМБУ-ГОТО

§ 2.1. БОЗОННЫЕ СТРУНЫ

Теория струн на первый взгляд кажется отклоняющейся от обычных методов, развитых за последние 40 лет для теорий вторично квантованных полей. Это произошло потому, что теория струн была исторически впервые открыта в форме теории первичного квантования. Именно поэтому теория струн порой выглядит как случайный набор произвольных допущений. Хотя теория вторично квантованного поля может быть полностью выведена из единственного выражения для действия, теория первичного квантования требует дополнительных предположений. В частности, вертексы, выбор взаимодействий и веса диаграмм теории возмущений должны быть постулированы вручную и затем проверены на унитарность.

К счастью, формализм континуального интеграла для первично квантованной точечной частицы был затем обобщен на струны Жервэ и Сакитой, что позволяет нам выписать динамику взаимодействующих струн с замечательной легкостью.

В предыдущей главе мы ввели самые важные математические понятия, на основе которых можно обсуждать теорию первичного квантования для точечных частиц. Как ни странно, почти все основные черты струны Намбу-Гото имеют те или иные аналоги в этой теории. Конечно, в теории струн встречаются совершенно новые черты, такие, как существование мощных симметрий на мировом листе, но основные методы квантования могут быть прямо перенесены со случая точечной частицы, рассмотренного в предыдущей главе.

Мы видели, что обычная формулировка вторично квантованной теории поля может быть переписана в форме первичного квантования. Так, традиционный ковариантный фейнмановский пропагатор (1.6.19) можно с помощью (1.3.28), (1.3.30), (1.3.37) переписать в виде

где мы интегрируем по всем возможным траекториям частицы, находящейся в точке которые начинаются в и оканчиваются в точке

Взаимодействия, как мы видели, вводились в теорию вручную постулированием конкретного набора топологий, по которым частица может блуждать. Амплитуда рассеяния, например, есть

где мы интегрируем по всем топологиям, образующим известные фейнмановские диаграммы для теории или

Важно заметить, что полученная в результате фейнмановская диаграмма является графом, а не многообразием. В точке взаимодействия локальная топология не есть так что она не может быть многообразием. Нет никакой корреляции между внутренними линиями и точками взаимодействия. Это значит, что мы можем ввести в точке взаимодействия релятивистской точечной частицы произвольно высокие спины, если мы пользуемся формализмом первичного квантования. Поэтому первично квантованная теория точечной частицы обладает бесконечной степенью произвольности, что соответствует различным спинам и массам, которые мы можем поместить в точку взаимодействия. Кроме того, ультрафиолетовые расходимости каждой фейнмановской диаграммы соответствуют числу способов, которыми можно «прищепить» эту диаграмму, стянув в точку какую-либо из внутренних линий, и тем самым деформировать локальную топологию.

Эта картина, однако, полностью меняется при переходе к струнам. Хотя формализм континуального интеграла выглядит почти тем же самым, имеются глубокие и важные различия. В частности, сумма по историям развития становится суммой по всем возможным трубкам или поверхностям, которые могут соединять две различные струны (см. рис. 2.1). Этот мировой лист является настоящим многообразием, а именно римановой поверхностью, так что множество взаимодействий, совместимых с пропагатором, резко ограничивается. Поэтому мы

Рис. 2.1. Вершины для точечных частиц и для струн. Для точечных частиц можно построить большое число различных теорий, основанных на разных значениях спинов и изоспинов, поскольку фейнмановские диаграммы являются графами. Однако число известных теорий струн невелико, потому что взаимодействия должны описываться в этом случае многообразиями, а не графами. Конформная симметрия, модулярная инвариантность и суперсимметрия налагают жесткие ограничения на многообразия, которые можно использовать в теориях суперструн; эти ограничения не имеют аналогов в теории точечных частиц.

ожидаем обнаружить очень малое число теорий струн, в противоположность бесконечному числу теорий точечных частиц, которые возможно написать. Кроме того, теория суперструн не испытывает трудностей, порождаемых ультрафиолетовыми расходимостями, которые возникают из-за стягивания в точку одной из внутренних линий. Невозможно «прищепить» мировую поверхность струны, чтобы получить ультрафиолетовую расходимость. Поэтому теория струн свободна от расходимостей в силу чисто топологических соображений. (Необходимо отметить, однако, что такую «прищепнутую» диаграмму можно рассматривать как инфракрасную расходимость, представляющую испускание безмассовой частицы с нулевым спином в вакуум. К счастью, суперсимметрия устраняет эти инфракрасные расходимости.)

Итак, хотя формализм континуального интеграла сравнительно просто справляется и с теорией первично квантованной точечной частицы, и с теорией первично квантованной струны, но существуют глубокие и важные различия в физике этих теорий, возникающие из чисто топологических соображений.

Начнем обсуждение струн с введения координат, описывающих колеблющуюся в физическом пространстве-времени струну. Пусть точки вдоль струны параметризуются переменной от, и пусть струна распространяется во времени. Пусть вектор

представляет пространственно-временные координаты этой струны (см. рис. 2.2), параметризованные двумя переменными. При движении струны она заметает двумерную поверхность, которую мы назовем «мировым листом». Он будет параметризован двумя переменными, а и т. Векторы, касательные к этой поверхности, определяются производными от координаты:

Рис. 2.2. Двумерная мировая поверхность, заметаемая струной. Когда струна, параметризованная параметром а, движется в пространстве-времени, она заметает двумерную поверхность, параметризованную координатами а и т. Струнная переменная - это вектор, соединяющий начало координат с точкой на этом двумерном многообразии.

Свертка этих двух касательных векторов дает метрику

где мы заменили две переменные набором и могут принимать значения 0 и 1. Площадь бесконечно малого элемента на этой поверхности можно записать в виде

По аналогии со случаем точечной частицы, в котором действие было длиной траектории частицы, определим теперь действие как площадь этого мирового листа. Лагранжиан поэтому дается формулой [1-4]:

где штрих представляет дифференцирование по а точка - дифференцирование по т. Действие есть просто лагранжиан, интегрированный по мировому листу, что равно общей площади этой двумерной поверхности:

Функция Грина для распространения струны от конфигурации в момент «времени» к конфигурации в момент «времени» , а также континуальный интеграл по поверхности, выражающей топологию нескольких взаимодействующих струн, могут быть представлены в виде

где представляет интегральную меру по расположению внешних линий и где сделан виковский поворот по переменной х (по формуле ), чтобы интеграл сходился.

Соответствие между формализмом континуального интеграла для точечных частиц, который мы тщательно разработали в предыдущей главе, и формализмом теории струн весьма примечательно. Мы находим, что почти весь формализм точечных частиц можно перенести в формализм теории струн:

Подобным образом континуальные интегралы для точечных частиц

и для теории струн обладают удивительно сходными чертами. N-точечную функцию для амплитуды рассеяния -струн тоже можно записать в виде преобразования Фурье, подобного континуальному интегралу для точечных частиц:

Хотя имеются примечательные аналогии между теорией точечных частиц и теорией струн, когда они выражены на языке континуального интеграла, между ними выявится решающее отличие, когда мы исследуем топологии, по которым могут двигаться соответствующие объекты. Для случая точечных частиц эти топологии суть графы, как в фейнмановских диаграммах, тогда как для теорий струн эти топологии суть многообразия:

Графы Многообразия.

Одна из важнейших причин, по которой для точечных частиц имеется столь много различных выражений действия (и так мало разных действий для теории струн), - та, что отличает графы от многообразий. Нетривиальные ограничения, наложенные на многообразия, резко снижают число непротиворечивых теорий струн.

Как и в случае точечной частицы, выбор параметризации был вполне произволен. Поэтому наше действие должно быть независимо от параметризации. Чтобы это увидеть, сделаем произвольную замену переменных:

При такой репараметризации переменная струны изменяется на величину

Поскольку площадь поверхности не зависит от параметризации, действие обладает явной репараметризационной инвариантностью, что легко проверяется.

Как и прежде, выпишем канонически сопряженные переменные теории:

Как и в случае точечных частиц, эти импульсы не все независимы.

Действительно, мы находим два тождества, которым удовлетворяют канонические импульсы:

Итак, эти два условия налагают связи на канонические импульсы. Вычисление гамильтониана системы показывает, что он тождественно равен нулю, как в (1.4.9):

Обращение в нуль гамильтониана и наличие связей на импульсы служат указаниями на то, что мы имеем дело с калибровочной системой, обладающей бесконечной избыточностью. Репараметризационная инвариантность системы является источником этой избыточности. Поэтому мы можем выписать тесное соответствие между связями теории точечных частиц и теории струн:

Прежде чем начать подробное обсуждение квантования струны, поучительно рассмотреть чисто классические движения этой струны. Сначала отождествим параметр с физическим временем, так что

Затем вынесем множитель из-под знака корня в выражении для действия (2.1.7):

где - составляющая скорости, перпендикулярная струне:

Граничные условия, выводимые из этого действия с фиксированной калибровкой, включают

Это значит, что концы классической струны движутся со скоростью света.

Мы можем также вычислить энергию классической струны. Будем предполагать, что струна находится в конфигурации, максимизирующей ее момент количества движения, т. е. она является твердым стержнем, вращающимся с угловой скоростью со вокруг оси, помеченной единичным вектором Струну можно параметризовать выражением

где

Чтобы вычислить энергию и момент количества движения системы, нужно сначала выписать лоренцевы генераторы, связанные со струной:

Заметим, что это порождает алгебру группы Лоренца, если задать скобки Пуассона:

Теперь можно вычислить энергию и момент количества движения из составляющих лоренцева генератора [5]:

Итак, момент количества движения вращающейся струны пропорционален квадрату энергии системы:

Если на оси абсцисс откладывать квадрат энергии, а на оси ординат момент количества движения (называемый также угловым моментом), то получится кривая, известная как траектория Редже. Наклон этой траектории равен а, и кривая линейна. Итак, мы получили ведущую траекторию Редже для классического вращения твердого тела. На протяжении всей книги мы будем выбирать нормировку Это произвольное соглашение. Однако ниже мы увидим, что интерсепт ведущей траектории должен быть положен равным единице, что

фиксируется конформной инвариантностью после квантования теории. Итак, доложим

При квантовании системы мы обнаружим, что имеется бесконечно много таких параллельных траекторий Редже, но с все более отрицательными координатами их пересечения с осью у.

Как мы подчеркивали, есть принципиальное отличие между случаем точечных частиц и струной, состоящее в том, что струнная система обладает более обширным набором связей, порождающим калибровочную группу репараметризации. Например, если ввести канонические скобки Пуассона, то можно непосредственно показать, что эти связи порождают некоторую алгебру.

Для вычисления этой алгебры разложим X и Р по нормальным модам открытой струны:

Заметим, что в разложение для X входят только члены, содержащие косинусы. Причина в том, что при выводе уравнений движения струны приходится интегрировать по частям и поэтому возникают нежелательные поверхностные члены в точках Для устранения этих поверхностных членов нужно наложить граничное условие

Это граничное условие устраняет все синусные моды струны.

Иногда будет удобно пользоваться тем, что разложение имеет такой вид. В частности, отсюда следует, что

То же самое справедливо для мод канонически сопряженной переменной Это в свою очередь позволяет объединить обе связи в одну, воспользовавшись свойствами симметрии струны относительно отражения - замены а на — ст. Выбрав параметризацию, в которой длина струны равна , определим

где - произвольная функция на интервале , я]. Заметим, что обе связи объединены теперь в одно уравнение в силу этой отражательной симметрии. С помощью (2.1.21) можно показать, что эти генераторы образуют замкнутую алгебру:

где

Можно также показать, что эта алгебра удовлетворяет тождествам Якоби

где скобки означают все возможные циклические перестановки. Эта алгебра называется алгеброй Вирасоро [6]; она окажется одним из самых мощных инструментов построения теории струн.

Как в (1.4.11), можно включить связи в выражение для действия с помощью множителей Лагранжа

Исключив функциональным интегрированием эти множители Лагранжа, вернемся к предыдущему набору связей. Неудивительно, что это новое действие обладает своей собственной группой репараметризации, причем параметрами служат

Преимущество этой формы действия - то, что она имеет первый порядок и не включает неудобных квадратных корней, содержащихся в исходном выражении для действия. Как и в случае точечных частиц, это указывает на существование еще одной формы действия, выраженной через вспомогательное поле. Чтобы найти эту третью формулировку действия, введем новое независимое поле

представляющее метрику на двумерной поверхности. В отличие от обсуждавшегося выше случая, эта метрика совершенно независима от струнной переменной. Выпишем форму действия, предложенную в работе

Полякова

Эта формула является обобщением действия для точечной частицы (1.4.14), имеющего второй порядок. Заметим, что действие Полякова напоминает действие скалярных полей, взаимодействующих с внешним двумерным гравитационным полем. Оно также обладает явной репараметризационной инвариантностью:

Действие также тривиально инвариантно относительно изменения масштаба (преобразования Вейля)

Действие Полякова полностью эквивалентно на классическом уровне приведенному выше действию Намбу-Гото. Как и в формализме Намбу-Гото, мы можем вывести алгебру Вирасоро. Проварьировав по метрическому тензору, получаем тензор энергии-импульса, который можно положить равным нулю:

Вычислив его в явном виде, получим

Моменты тензора энергии-импульса будут соответствовать генераторам Вирасоро. Тем самым мы получаем другой способ вывода генераторов Вирасоро из этого нового, но эквивалентного формализма.

Заметим, что метрическое поле не является распространяющимся. Метрический тензор не содержит никаких действующих на него производных. Поэтому мы можем устранить это поле с помощью его собственных уравнений движения. Это приводит нас к следующему выводу:

Подставляя это значение метрического тензора обратно в действие, мы снова выводим исходное действие Намбу-Гото. Итак, на классическом уровне эти два действия совпадают.

В итоге, как и для случая точечных частиц, у нас теперь есть три разных способа записи действия; все они на классическом уровне эквивалентны. У каждого из них есть свои достоинства и недостатки при переходе к квантовой системе. Уравнения теории струн, выводимые из них, являются прямыми обобщениями трех лагранжианов для точечных частиц, приведенных в (1.4.16). Как и в рассмотренном выше случае, мы имеем, во-первых, формализм второго порядка, выражаемый через струнную переменную и через метрический тензор во-вторых, нелинейный формализм, выраженный полностью через , в-третьих, гамильтонов формализм, в котором фигурируют и канонически сопряженная ей переменная пара

На первый взгляд можно предположить, что все три формы действия вполне эквивалентны, так что можно выбрать одну из них и отбросить остальные. В действительности это не так по двум довольно тонким причинам. Приведем их.

(1) Поскольку мы имеем дело с первично квантованной теорией, мы обязаны взять сумму по всем топологиям взаимодействия, заметаемым струной. Для струны Намбу-Гото точная природа этих топологий неясна и должна быть задана вручную. Однако для предложенной Поляковым формы действия, содержащей независимый метрический тензор, можно устранить большую часть этой неопределенности, условившись, что суммирование проводится по всем конформно и модулярно неэквивалентным конфигурациям. (Эти термины будут определены ниже.) Это условие превратится в мощное ограничение, как только мы начнем выводить петли и единственным образом определим функциональную меру. Эта мера и топологии для действия Намбу-Гото, однако, определены некорректно. (Необходимо тем не менее отметить, что это правило интегрирования по неэквивалентным поверхностям не обеспечивает унитарности автоматически. Ее по-прежнему нужно проверять вручную.)

2) Хотя в классическом случае фиксация калибровки с помощью вейлевской инвариантности получается тривиально, здесь возникнут трудности, как только мы перейдем к квантовой механике. При

попытке тщательно провести процедуру квантования сразу возникнет аномалия. Фактически эта конформная аномалия исчезает лишь в 26-мерном случае!

Обсудим теперь квантование действия для струны. Стратегия, которой мы будем следовать при квантовании свободной теории с целью получения физического гильбертова пространства, такова. Сначала мы выделим симметрию действия, затем найдем токи, а затем алгебру, образованную генераторами этой симметрии. (Для струны этой симметрией будет репараметризационная инвариантность, а этой алгеброй - алгебра Вирасоро.) Затем мы должны наложить связи на гильбертово пространство, устраняющие духи и создающие унитарную теорию. Важно иметь в виду эту стратегию, когда мы приступим к квантованию струны:

Как и в случае точечных частиц, мы можем начать программу квантования несколькими способами. Есть три формализма для фиксации калибровки этой теории: (1) Гупты-Блейлера (конформная калибровка), (2) калибровка светового конуса и (3) BRST-формализм. Преимущества и недостатки каждого из них следующие:

(1) Формализм Гупты-Блейлера, вероятно, простейший из этих трех. Мы допускаем появление в действии духов, что позволило сохранить явную лоренц-инвариантность. За это пришлось заплатить необходимостью наложить устраняющие духов связи на гильбертово пространство. Операторы проектирования должны быть вставлены во все пропагаторы. Для деревьев это тривиально. Для петель высшего порядка это, однако, становится все труднее.

(2) Преимущество формализма светового конуса состоит в том, что его действие явно свободно от духов, как и гильбертово пространство. Переход к петлям не вызывает осложнений. Однако формализм очень неудобен, и лоренц-инвариантность приходится проверять вручную на каждом шаге процедуры.

(3) Формализм BRST сочетает лучшие черты двух предыдущих. Он является явно ковариантным, как формализм Гупты-Блейлера, и унитарным, как формализм светового конуса, поскольку духи с отрицательной метрикой и духи Фадеева-Попова взаимно уничтожаются.

Теперь обсудим по-отдельности каждую из этих схем квантования.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление