Главная > Физика > Геометрические идеи в физике (сб. статей)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Тензор кривизны

Кривизна определяется через репер и форму связности и существенно зависит от выбора структурной группы, т. е. отношения эквивалентности для гладких реперов. В супергравитадии этой группой служит группа Лоренца, действующая одновременно в векторных и спинорных реперах, и некоторая группа внутренней симметрии, преобразующая спинорные реперы. Репер может рассматриваться как локальная система отсчета; в системе координат он задается своими компонентами

При замене координат он преобразуется как тензор по своим мировым индексам:

Под действием структурной группы репер преобразуется как

где — генератор группы.

В супергравитадии эти генераторы имеют следующий вид. Лоренцевы генераторы суть

где Генераторы группы внутренней симметрии имеют вид

Мы принимаем в соответствии с тем, что при сопряжении верхние и нижние индексы внутренней симметрии меняются местами.

Кривизна является 2-формой со значениями в алгебре Ли, поэтому ее компоненты антисимметричны:

Индекс пробегает индексы генераторов группы Лоренца и генераторов внутренней симметрии Кручение и кривизна подчинены тождествам Бьянки, первые из которых имеют вид

Здесь фигурные скобки означают циклическую сумму по трем заключенным в них индексам, заменяет Поскольку многие матричные элементы генераторов равны нулю, оказывается возможным выразить с помощью первого тождества Бьянки кривизну через кручение и его ковариантные производные. Например, выбрав С и векторными индексами, получим сразу такие выражения для всех спинорных компонент лоренцевой кривизны. Имеем

Введем для краткости

Результирующие выражения для кривизны приведены в конце данного раздела (выражения (12)).

Структура индексов должна дать возможность читателю проследить, из какого именно тождества Бьянки был выведен результат. Некоторые из результатов для кривизны все еще содержат уравнения для кручения. Например, тот факт, что

накладывает на кручение условие, заключающееся в том, что правая часть должна быть пропорциональна генератору.

Если результаты для кривизны подставить опять в первые тождества Бьянки, то останутся одни только ограничения на кручение:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление