Главная > Оптика > Физика процессов в генераторах когерентного оптического излучения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ПРИЛОЖЕНИЕ 5. ОСОБЫЕ ТОЧКИ ДВУМЕРНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Предположим, что динамическая система описывается некоторой нелинейной системой уравнений:

где — функции от времени являющиеся динамическими параметрами систем.

Пусть и — координаты одной из особых точек системы. Рассматривая окрестность этой особой точки, представим

где и — величины первого порядка малости. Подставляя (П.5.2) в (П. 5.1) и отбрасывая члены второго и более высоких порядков малости, получаем вместо (П.5.1) линейную систему уравнений:

Решение (и аналогично ) этой системы ищем в виде

где — корни характеристического уравнения

Возможны шесть качественно разных ситуаций, соответствующих шести разным типам особых точек. На рис. П.5.1 приводится вид фазовых портретов в окрестности этих точек:

— рис. П.5.1, а соответствует особой точке типа устойчивый узел (в этом случае корни вещественные и отрицательные);

— рис. П.5.1, б соответствует особой точке типа неустойчивый узел (корни вещественные и положительные);

— рис. П.5.1, в соответствует особой точке типа седло (корни вещественные и имеют разные знаки);

— рис. П.5.1, г соответствует особой точке типа устойчивый фокус (корни комплексные, причем их вещественные части отрицательны);

Рис. П.5.1.

— рис. П.5.1, д соответствует особой точке типа неустойчивый фокус (корни комплексные, причем их вещественные части положительны);

— рис. П.5.1, е соответствует особой точке типа центр (корни мнимые).

На рис. П.5.1, а, г состояние системы изображаемое особой точкой, является устойчивым: любое произвольное «сталкивание» системы из этого состояния приведет к попаданию на фазовую траекторию, неизменно возвращающую систему в исходное состояние. На рис. П.5.1, б, в, д, напротив, состояние системы, изображаемое точкой, является неустойчивым: произвольное малое возмущение выводит систему на траекторию, которая уведет ее еще дальше от исходного состояния. На рис. П.5.1, е можно говорить об устойчивости изображаемого особой точкой состояния в том смысле, что при достаточно малых возмущениях система оказывается на одной из фазовых траекторий вблизи исходного состояния.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление