Главная > Оптика > Физика процессов в генераторах когерентного оптического излучения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ПОЛИНОМЫ ЭРМИТА

Дифференциальная форма полиномов Эрмита.

Разложим функцию в степенной ряд в окрестности точки

Коэффициенты этого разложения суть полиномы Эрмита:

Функцию называют производящей функцией для полиномов Эрмита. Запишем эту функцию в виде и затем подставим в Получим

Таким образом,

Выпишем несколько первых полиномов:

Заметим, что

Рекуррентные формулы.

Из (П. 1.1) следует

С другой стороны.

Таким образом,

Приравняв коэффициенты при получаем иэ (П. 1.4)

или

Далее продифференцируем по х:

С другой стороны,

Следовательно,

Приравняв коэффициенты при находим

или

Дифференциальное уравнение для полиномов Эрмита.

Продифференцируем (П. 1.5):

Продифференцируем (П. 1,6):

Учтем также, что согласно

Подставляя получаем

Таким образом, дифференциальное уравнение для имеет вид

Ортонормированность полиномов Эрмита.

Полиномы Эрмита ортонормированы на промежутке Докажем, что

при при Для этого рассмотрим

Выполняя взятие интеграла по частям раз, находим

Производную нетрудно найти:

Подставляя (П.1.14) в (П. 1.13), получаем

При интеграл в правой части равенства (П.1.15) обращается в нуль. При этот интеграл превращается в интеграл Пуассона: Таким образом, равенство (П. 1.12) доказано.

Видоизмененные полиномы Эрмита (полиномы Эрмита—Гаусса).

Указанные полиномы определяются следующим образом:

Используя (П. 1.12), нетрудно показать, что

Выполнив дважды дифференцирование соотношения (П. 1.16), получим

Используя (П. 1.10), находим отсюда

или

Таким образом, дифференциальное уравнение для имеет вид

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление