Главная > Математика > Исчисление конечных разностей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами бесконечного порядка

1. Уравнения бесконечного порядка как обобщение линейных разностных уравнений.

До сих пор в этой главе мы рассматривали разностные уравнения, считая как заданные, так и искомую функцию, определенными лишь для целых значений аргумента или в крайнем случае на положительной действительной полуоси. Задачу решения разностных уравнений можно рассматривать и для аналитических функций комплексного переменного. В этом случае задачи ставятся несколько иначе. В этом параграфе мы разберем для аналитических функций только решение линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами, но эти уравнения мы будем рассматривать как частный случай уравнений более общего вида, которые, вообще говоря, к разностным уравнениям сведены быть не могут.

Естественным обобщением линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами являются уравнения вида

где — произвольные постоянные. Уравнения типа (74) в свою очередь принадлежат к классу дифференциальных уравнений бесконечного порядка с постоянными коэффициентами

характеристические функции которых

суть целые функции первого порядка нормального типа другими словами,

В этом случае, когда — целая функция, линейный оператор будем называть нормальным оператором. В снлу линейности уравнения (75) его общее решение есть сумма одного частного решения этого уравнения и общего решения однородного уравнения

Предполагая, что — целая функция, мы рассмотрим ниже структуру общего решения уравнения (75) в классе целых функций. Случай, когда — целые функции, а оператор — не обязательно нормальный, разобран подробно в главе III, § 4. Здесь мы займемся изучением только нормальных операторов, но уже для любых целых функций. Выясним прежде всего, насколько нормальный оператор типа а может увеличить рост целой функции т. е. насколько рост может превосходить рост Можно написать

где

ассоциированная по Борелю с регулярная вне круга функция. Если интеграл в правой части (77) оценить по модулю, получим неравенство

где — максимум модуля постоянная, зависящая только от Итак, рост не может существенно превосходить рост

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление