Главная > Математика > Исчисление конечных разностей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Формула Стирлинга.

Возьмем функцию

тогда

Эта производная удовлетворяет условиям, при которых была получена формула (79), именно производная при четном сохраняет знак, и все стремятся к нулю, когда Подставляя в формулу вместо и прибавляя (для симметрии) к обеим частям равенства по получим (суммирование от

или

или окончательно

Это и есть формула Стирлинга.

Постоянное С можно определить, воспользовавшись формулой Валлисах)

Полагая в формуле Стирлинга найдем

а заменяя еще через

Преобразуем допредельное выражение в формуле Валлиса следующим образом:

откуда

Приближая к бесконечности, в пределе получим

откуда

Ряд Стирлинга окончательно принимает следующий вид:

Ряд Стирлинга, очевидно, расходится, но тем не менее он дает возможность вычислять значения с большей точностью. Действительно, ряд Стирлинга представляет собой так называемый асимптотический ряд. Если имеет большое значение, то члены ряда от начала очень быстро убывают, и формула (80) показывает, что ошибка, получающаяся, если прервать ряд на каком-нибудь члене, имеет знак, обратный первому отбрасываемому члену, а по абсолютной величине меньше его.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление