Главная > Математика > Исчисление конечных разностей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8. Геометрические свойства многочленов Бернулли.

Свойствами (I), (II), (III) достаточно подробно, как мы сейчас покажем, выясняется поведение кривой

Для удобства построений и простоты рассуждений будем рассматривать кривую

Из соотношения (14), определяющего следует, что

или

поэтому рассматриваемая кривая всегда проходит через начало координат. Получим еще ряд свойств рассматриваемой кривой на интервале . Полагая в соотношении получим

откуда

Если — четное, то, как показывает полученное соотношение, разность обращается в нуль. Если же — нечетное, но не равно единице, то и. следовательно, полученное соотношение дает Так как в рассматриваемом случае то мы можем и здесь писать

Итак, разность для любого обращается в нуль при Это значит, что кривая проходит (при любом через крайние точки интервала .

Определим теперь, сколько корней имеет внутри интервала .

Рассмотрим случай Положим в равенстве тогда мы получим, что

или так как

то

Допустим теперь, что имеет в интервале два корня (одно из этих а может, конечно, быть равно )

Так как мы можем теперь расположить нули в порядке роста, т. е. предположить, что выполнено неравенство

то по теореме Ролля отсюда следует, что имеет, кроме корней 0 и 1, также еще три корня внутри интервала . Повторяя это рассуждение, мы приходим к тому, что и имеет два корня внутри интервала и притом различных. Дифференцируем соотношение (53). Имеем

откуда следует, что

так как

Значит, предположив, что имеет внутри интервала два корня, мы придем к тому, что и также имеет два различных корня внутри этого интервала. Идя дальше, мы, наконец, придем к тому, что ухимеет, кроме 0 и 1, еще два корня внутри интервала . Но кривая третьего порядка не может иметь четыре корня, и мы пришли к противоречию.

Итак, имеет внутри интервала единственную точку пересечения с осью абсцисс — точку

Перейдем к случаю Так как и из равенства (53) получим

Отсюда следует, что, предположив существование нуля функции мы по теореме Ролля установим существование двух нулей: и функции а значит, и у функции Но по.

доказанному это невозможно. Итак, отлично от нуля внутри интервала . Найдем знак внутри этого интервала.

Из соотношения (49) следует, что

или

Итак,

откуда

Но из формулы (37) следует, что

значит,

Мы нашли таким образом, что при нечетном кривая лежит в интервале под осью абсцисс, а при четном — над осью абсцисс, так как ее знак в интервале не меняется по доказанному ранее.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление