Главная > Математика > Исчисление конечных разностей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Постановка задач теории конечных разностей для аналитических функций комплексного переменного.

Теория конечных разностей, являющаяся частью классического анализа, играет большую роль в развитии приближенных методов в анализе — в приближенном интегрировании, в приближенном решении дифференциальных уравнений и других вопросах. Она тесно связана также с общей теорией приближения функций, которая в настоящее время получила название конструктивной теории функций. За несколько последних десятилетий сильно развилось другое направление в теории конечных разностей. Это направление тесно связано с теорией аналитических функций и имеет приложения как в этой последней теории, так и в теории чисел. В настоящей книге помимо основных классических результатов, относящихся к проблемам теории конечных разностей и смежной с этой теорией конструктивной теории функций, содержится также приложение ряда новых методов и результатов, относящихся ко второму из вышеуказанных направлений. Это второе направление в основном ставит и решает те же задачи конечных разностей, о которых шла речь выше, для аналитических функций. Новые по сравнению с классическими задачи, здесь возникающие, связаны с аналитичностью рассматриваемых функций. Например, предполагая, что мы рассматриваем класс целых функций, рост которых ограничен определенным образом, мы можем, естественно поставить вопрос о нахождении процесса, восстанавливающего функцию нашего класса по ее значениям в последовательности точек комплексной плоскости, имеющих только одну предельную точку в бесконечности. При этом, как мы увидим в дальнейшем, необходимо накладывать ограничения на рост целых функций нашего класса в зависимости от плотности последовательности узлов интерполяции

В качестве другого примера новых по сравнению с классическими задач, возникающих в теории конечных разностей, если рассматривать решения конечно-разностных задач в том или ином классе аналитических функций, можно рассмотреть задачу о решении уравнения вида Это уравнение имеет счетное множество целых аналитических решений, линейно независимых между собой. Естественно возникает вопрос о возможности представления любого аналитического решения этого уравнения с помощью его частных решений и о процессе, с помощью которого это представление можно осуществить.

Наконец, используя интерполяционные методы в теории аналитических функций, можно подойти к решению ряда числовых задач, главным образом проблем арифметической природы значений аналитических функций при алгебраических значениях аргумента. Эти методы будут показаны на примере доказательства трансцендентности чисел

Так как в основном в книге изложена проблематика конечных разностей в комплексной области, то ряд вопросов, которые обычно связывались с теорией конечных разностей в действительной области, например проблема моментов в действительной области, теория квадратур и т. д., в книге не затронут.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление