Главная > Математика > Исчисление конечных разностей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Суммирование функций и уравнения в конечных разностях.

Обратимся к другим задачам теории конечных разностей. Очень важной задачей является задача суммирования функций, заключающаяся в следующем: функция задана для целых значений переменного х некоторым аналитическим выражением, найти в конечном виде точно или приближенно сумму

Многие частные случаи этой задачи хорошо известны в анализе. Действительно, формулы

есть ни что иное, как решение задачи суммирования для функций

Задача суммирования тесно связана с другой задачей — задачей решения уравнений в конечных разностях.

Прежде чем говорить о решении уравнений в конечных разностях, нам, конечно, необходимо ввести понятие конечной разности.

Пусть функция определена для всех значений х вида — некоторые фиксированные числа, — любое целое число). Мы можем образовать некоторый аналог производной

Это выражение равно тангенсу угла наклона прямой, соединяющей точки .

Выражение мы будем обозначать и называть конечной разностью первого порядка функции в точке Конечные разности первого порядка могут служить для образования конечных разностей второго порядка и т. д.:

Задачу решения уравнения в конечных разностях можно поставить следующим образом:

Дано соотношение

найти функцию обращающую это уравнение в тождество.

Простейшим примером уравнения в конечных разностях может служить уравнение

где х может принимать значение

Формально решением этого уравнения служит функция т. е. мы видим, что решение этого уравнения эквивалентно решению задачи о суммировании функции

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление