Главная > Математика > Исчисление конечных разностей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Примеры.

Рассмотрим теперь ряд примеров.

1. Пусть требуется построить интерполирующий многочлен степени для заданного многочлена также степени.

Очевидно, что интерполирующим многочленом будет заданный нам многочлен, потому что остаточный член интерполяционных формул есть выражение

которое для многочлена степени тождественно обращается в нуль.

2. Разложим в сумму (на основании примера 1 она будет конечной) по обобщенным степеням х функцию Воспользовавшись формулой (40), получим тождество

Разность , можно построить по формуле (35), которая в данном случае будет

При находим разность первого порядка:

при находим разность второго порядка:

при найдем

Рассмотрим для большей конкретности случай тогда получаем

и разложение по обобщенным степеням представится в следующем виде:

Справедливость полученного тождества может быть, конечно, проверена и непосредственно.

3. Построить интерполирующий многочлен степени для функции

Нетрудно непосредственным подсчетом получить для Аках следующее выражение:

откуда

так что применение формулы (40) дает

Ни при каком (даже сколь угодно большом) построенный многочлен не будет точно изображать Вопрос может только ставиться о сходимости ряда

Как естественно ожидать, сходимость этого ряда зависит от величины Можно показать, что для всякого найдутся такие числа что при написанный ряд сходится и изображает функцию Например, для ряд будет сходящимся при условии Исследование облегчается рассмотрением величины остаточного члена который имеет следующий вид:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление