Исчисление конечных разностей

  

Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М: ГИФМЛ, 1959. – 400 с.

Теория конечных разностей имеет большое значение как для приближенных вычислений, в том числе для численного интеинтегрирования и приближенного решения дифференциальных уравуравнений, так и для конструктивной теории функций действительного и комплексного переменного, теории вероятностей и теории чисел.

По своей современной проблематике теория конечных разностей ближе всего к конструктивной теории функций, с которой она в значительной степени и сливается. Исторически основные линии развития теории конечных разностей в действительной области были определены работами Л. Эйлера, П. Л. Чебышева, А. А. Маркова, работами С. Н. Бернштейна и его школы.



Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ТЕОРИИ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
2. Суммирование функций и уравнения в конечных разностях.
3. Постановка задач теории конечных разностей для аналитических функций комплексного переменного.
ГЛАВА I. ЗАДАЧА ИНТЕРПОЛЯЦИИ
§ 1. Общая постановка проблемы интерполяции
2. Формула Лагранжа.
3. Формула Ньютона.
§ 2. Многочлены Чебышева
§ 3. Формула Ньютона для равноотстоящих значений независимого переменного
2. Второй вывод формулы Ньютона.
3. Понятие обобщенной степени.
4. Примеры.
§ 4. Различные представления разделенной разности в общем случае расположения узлов интерполяции
2. Второе представление разделенной разности и формула Ньютона при произвольных узлах интерполяции.
3. Третье представление разделенной разности и формула Эрмита.
§ 5. Интерполяционный процесс при треугольной таблице
2. Оценки остаточного члена в общей интерполяционной формуле и основные теоремы о представлении функций интерполяционным рядом.
3. Основные теоремы о представлении функций общим интерполяционным рядом.
§ 6. Приближение функций
2. Приближение функций многочленами.
3. Сходимость интерполяционного процесса Лагранжа и теорема С. Н. Бернштейна.
4. Многочлены С. Н. Бернштейна и их обобщение.
5. Приближение функций многочленами в комплексной плоскости. Многочлены Фабера.
§ 7. Интерполяционная задача и проблема моментов в комплексной плоскости
ГЛАВА II. РЯД НЬЮТОНА
2. Гамма-функция, ее определение и основные свойства.
3. Асимптотическое представление Г(z).
4. Некоторые общие характеристики поведения целых аналитических функций.
5. Некоторые свойства выпуклых областей. Опорная функция выпуклой области.
6. Связь между индикатрисой роста целой аналитической функции первого порядка нормального типа и расположением особенностей ассоциированной с ней функции.
7. Плотность последовательности и показатель сходимости.
§ 2. Ряд Ньютона с узлами интерполяции 1, 2, 3,...
2. Свойства функций, представляемых рядом Ньютона.
3. Разложение аналитических функций в ряд Ньютона.
§ 3. Ряд Ньютона при произвольных узлах интерполяции
2. Случай конечного числа предельных точек последовательности узлов интерполяции на конечной части плоскости.
3. Интерполяционный процесс Ньютона в случае, когда узлы интерполяции имеют точку накопления только в бесконечности.
4. Приложение интерполяционных процессов к решению некоторых вопросов теории чисел.
ГЛАВА III. ПОСТРОЕНИЕ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ С ЗАДАННЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
§ 1. Постановка задач и построение целой функции по ее значениям
2. Интерполяция рациональными дробями и одна теорема а целых функциях.
3. Определение целой функции по значениям последовательных производных.
4. Постановка общей задачи определения целой функции по заданным элементам.
§ 2. Проблема моментов в комплексной области для целых функций не выше первого порядка нормального типа
§ 3. Частные случаи общей интерполяционной задачи
§ 4. Линейные дифференциальные уравнения бесконечного порядка с постоянными коэффициентами и некоторые интерполяционные задачи, приводящиеся к решению подобных уравнений
ГЛАВА IV. СУММИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. ЧИСЛА И МНОГОЧЛЕНЫ БЕРНУЛЛИ
§ 2. Числа и многочлены Бернулли
2. Дальнейшие свойства чисел Бернулли.
3. О малой теореме Ферма.
4. Другой вид производящей функции бернуллиевых чисел.
5. Теорема Штаудта.
6. Аналитические свойства многочленов Бернулли.
7. Теорема умножения бернуллиевых многочленов.
8. Геометрические свойства многочленов Бернулли.
§ 3. Формула Эйлера
2. Строгий вывод формулы Эйлера с остаточным членом.
3. Остаточный член формулы Эйлера.
4. Другая форма остаточного члена формулы Эйлера.
5. Формула Стирлинга.
ГЛАВА V. УРАВНЕНИЯ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
§ 2. Линейные уравнения первсго порядка
2. Неоднородное линейное уравнение.
§ 3. Линейные уравнения. Обшая теория
2. Основные теоремы о решениях линейного уравнения.
3. Линейная зависимость и независимость функций.
4. Свойства частных решений линейного однородного уравнения.
5. Неоднородное линейное уравнение. Метод вариации постоянных.
6. Выражение многократной суммы через однократную.
§ 4. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
2. Случай кратных корней.
3. Общее решение и линейная независимость частных решений.
4. Решение неоднородного линейного уравнения.
5. Примеры.
§ 5. Теорема Пуанкаре
3. Теорема Перрона.
4. Пример к теореме Пуанкаре.
§ 6. Теорема Гёльдера
§ 7. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами бесконечного порядка
2. Линейные однородные дифференциальные уравнения бесконечного порядка с постоянными коэффициентами.
3. Обобщенные функции Бернулли, порождаемые оператором L(F).
4. Линейные неоднородные уравнения.
5. Обобщения понятия периода функции.
ЛИТЕРАТУРА