Главная > Оптика > Основы оптики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.3.2. Принцип Ферма

Принцип Ферма, известный также как принцип наикрапгчаишего оптического пути, утверждает, что оптическая длина

реального луча между любыми двумя точками короче оптической длины любой другой кривой, соединяющей эти точки и лежащей в некоторой регулярной окрестности луча Под регулярной окрестностью понимается область, которую можно заполнить лучами таким образом, что через каждлю ее точку будет проходить один (и только один) луч. Например, такой областью является та часть пространства, которую заполняют точечного источника где эти лучи (из-за преломления, отражения или из-за своей кривизны) не пересекаются.

Прежде чем доказывать это, необходимо отметить, что принцип Ферма можно сформулировать и несколько иной, более слабой форме, применимой, однако, в более широкой области. Согласно данной формулировке реальный

луч отличается от остальных кривых (не обязательно лежащих в регулярной окрестности) тем, что соответствующий ему интеграл (4) имеет стационарное Значение.

Чтобы найти кривые, для которых интеграл имсег стационарное значение, необходимо в общгм случае применить методы вариационного исчисления, описанные в приложения 1. Там показано, что координаты таких кривых удовлетворяют дифференциальным уравнениям Эйлера (см. (7) приложения 1). В нашем случае это просто уравнения лучен (3.2.2), что показано в п. 11 приложения 1.

Каратеодори [2] подчеркивал, что стационарное значение никогда не является истинным максимумом. Поэтому во второй, более слабой формулировке принципа Ферма необходимо говорить о стационарном, а не экстремальном значении.

Исходной же формулировке принципа соответствует «сильный минимум» в смысле Якоби (см. приложение 1, п. 10).

Рис. 3.11. К доказательству принципа Ферма.

Для доказательства принципа Ферма рассмотрим пучок лучей и сравним оптические длины отрезка луча С и произвольной кривой С, соединяющей точки Р, и (рис. 3.11). Пусть два соседних волновых фронта пучка пересекают С в точках и в точках и Далее обозначим через точку пересечения волнового фронта с лучом проходящим через точку Применяя интегральное соотношение Лагранжа к маленькому треугольнику получим

Из определения скалярного произведения следует, что

Далее, вектор перпендикулярен к на волновом фронте, и поэтому

Поскольку являются соответствующими точками на двух волновых фронтах, находим, согласно (3.1.25),

Применяя в соотношении (5) последние три выражения, получим

и после интегрирования —

Кроме того, знак равенства можно ставить лишь в том случае, если направления и совпадают в каждой точке кривой С, т. е. если она является реальным лучом. Однако такой случай исключен нашим предположением, что через каждую точку окрестности проходит только один луч. Следовательно, оптическая длина луча меньше оптической длины произвольной кривой С, т. е. принцип Ферма доказан.

Легко показать, что в случае невыполнения условия регулярности оптическая длина луча может оказаться не минимальной. Рассмотрим, например, поле лучей от точечного источника в однородной среде, отраженных плоским зеркалом (рис. 3.12). Через любую точку в этом случае проходят два луча; оптическая длина прямого луча является абсолютно минимальной, тогда

как оптическая длина отраженного луча минимальна лишь по отношению к оптическим длинам кривых, лежащих в некоторой ограниченной окрестности луча. В общем случае, если лучи от точечного источника Р, преломляются или отражаются на поверхностях раздела однородных сред, регулярная область оканчивается на огибающей (каустике) совокупности лучей Точка в которой луч от точечного источника касается огибающей, называется точкой, сопряженной точке на данном луче. Для того чтобы оптическая длина луча была минимальной, точка должна лежать между т. е. точки должны лежать по одну сторону от каустики. Например, в случае нескорректированной линзы (рис. 3.13) центральный луч от имеет минимальною оптичеекмо длину лишь до кончика каустики (гауссово изображение ючки Для любой точки лежащей за огибающей, оптическая длина прямого превышает оптическую длину ломаного пути

Рис. 3.12. Поле лучей, образующихся при отражении света точечного источника от плоского зеркала.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление