Главная > Оптика > Основы оптики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.1.2. Световые лучи и закон интенсивности в геометрической оптике.

Из соотношений (8), (1.4.54) и (1.4.55) следует, что усредненные по времени плотности электрической и магнитной энергии записываются

в виде

Подставляя сюда из (11а) и из (12а), получим

где квадратные скобки обозначают смешанное произведение. Следовательно, в приближении геометрической оптики усредненные по времени плотности электрической и магнитной энергии равны друг другу.

Среднее по времени значение вектора Пойнтинга можно получить с помощью (8) и (1.4.52); имеем

Используя (12а), получим

На основании последний член в этом выражении равен нулю; выражая затем через и используя соотношение Максвелла находим

Поскольку член определяет среднюю по времени плотность полной энергии Выражение же на основании уравнения эйконала является единичным вектором (скажем,

тогда из (21) следует, что вектор направлен вдоль усредненного вектора Пойнтинга. Полагая, как и раньше, выражение (21) можно переписать в виде

Следовательно, направление усредненного по времени вектора Пойнтинга совпадает с нормалью к геометрическому волновому фронту, а абсолютная его величина равна произведению средней плотности энергии на спорость

Этот результат аналогичен соотношению (1.4.9) для случая плоских волн и свидетельствует о том, что в приближении геометрической оптики средняя плотность энергии распространяется со скоростью

Геометрические световые лучи можно теперь определить как траектории, ортогональные к геометрическим волновым фронтам Мы будем приписывать этим линиям направление, полагая, что оно совпадает в каждой точке с направлением усредненного вектора Пойнтинга. Если радиус-вектор точки Р, расположенной на луче, рассматривать как функцию длин дуги луча, то и уравнение луча запишется в виде

Из (13а) и (14а) видно, что векторы электрического и магнитного полей в каждой точке ортогональны лучу.

Смысл уравнения (24) можно пояснить следующим образом. Рассмотрим два соседних волновых фронта и Тогда

Следовательно, расстояние между точками пересечения нормали с этими волновыми фронтами обратно пропорционально показателю преломления, прямо пропорционально у,

Рис. 3.1. Чертеж, поясняющий смысл соотношения

Рис. 3.2 К выводу закона интенсивности в геометрической оптике

Интеграл вдоль кривой С называется оптической длиной этой кривой. Показывая квадратными скобками оптическую длину луча, соединяющего точки получим

Как мы установили, средняя плотность энергии распространяется вдоль луча со скоростью поэтому

где — время прохождения энергией расстояния вдоль луча; следовательно,

т. е. оптическая длина равна произведению скорости света в вакууме на время распространения света от

Интенсивность света I была определена нами как абсолютное значение от среднего по времени вектора Пойнтинга. Поэтому из (23) следует, что

а закон сохранения (1.4.57) дает

Для того чтобы понять смысл этого соотношения, рассмотрим узкую трубку, образованную световыми лучами, выходящими из элемента волнового фронта постоянная), и обозначим через соответствующий элемент, который пересекают эти лучи на другом волновом фронте (рис. 3.2). Интегрируя (29) по объему трубки и применяя теорему Гаусса, получим

где — внешняя нормаль к поверхности трубки. Поскольку на

(30) сводится к выражению

где интенсивности на соответственно. Следовательно, величина остается постоянной вдоль трубки лучей. Это соотношение выражает закон интенсивности в геометрической оптике

Позже будет показано, что в однородной среде световые лучи имеют вид прямых линий. Закон интенсивности в этом случае можно представить в несколько иной форме. Предположим сначала, что а следовательно, и ограничены отрезками линий кривизны (рис. 3 3). Если главные радиусы кривизны отрезков то

где — углы, под которыми видны из соответствующих центров кривизны и Следовательно,

Рис. 3.3 К выводу закона интенсивности в геометрической оптике для прямолинейных лучей

Аналогичное выражение получается для элемента который выделяется пучком лучей, прошедших через из другого волнового фронта семейства, т. е.

Если — расстояние между измеренное вдоль луча, то

и окончательно получим

Если площадки ограничены произвольными кривыми, то формула (34) все равно остается справедливой. В этом легко убедиться, если разбить площадки на большое число элементов, ограниченных линиями кривизны, а затем просуммировать вклады от всех элементов,

Если то (34) сводится к

Этой формулой иногда пользуются при изучении рассеяния света.

Величина обратная произведению двух главных радиусов кривизны, называется гауссовой (или второй) кривизной поверхности. Из (34) следует, что в любой точке прямолинейного луча интенсивность пропорциональна гауссовой кривизне волнового фронта, проходящего через эту точку В частности, если все (прямолинейные) лучи имеют одну общую точку, волновые фронты имеют вид сферических поверхностей с центром в этой точке, тогда и мы получим (опуская индексы) закон обратного квадрата расстояния, т. е.

Возвращаясь к общему случаю произвольного пучка лучей (искривленных или прямых), мы можем, воспользовавшисьфункцией записать в явном виде соотношения для изменения интенсивности вдоль каждого луча. Подставляя из (22) в (29) и используя тождества получим

Это можно переписать следующим образом:

Введем теперь оператор

где — параметр, характеризующий положение вдоль луча, Тогда (37) примет вид

и после интегрирования находим

Однако из (38), (15) и (25) следует, что

и мы получим окончательное выражение для отношения интенсивностей в двух произвольных точках луча в виде

здесь интегрирование проводится вдоль луча.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление