Главная > Оптика > Основы оптики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2.1. Электродинамические потенциалы в вакууме

2.1.1. Векторные и скалярные потенциалы.

Рассмотрим электромагнитное поле в вакууме, обусловленное заданным распределением зарядов и токов . Оно удовлетворяет уравнениям Максвелла (1.1.1)-(1.1.4). В вакууме и эти уравнения можно переписать в виде

Так как дивергенция ротора любого вектора равна нулю, то уравнение (4) будет удовлетворяться, если положить

где А — произвольная векторная функция координат и времени. Если соотношение (5) подставить во второе уравнение Максвелла, мы получим

Уравнение (6) будет удовлетворяться, если

здесь — произвольная скалярная функция. Величины А и необходимо определить таким образом, чтобы удовлетворить оставшимся уравнениям Максвелла.

Подставляя (5) и (7) в (1) и (3) и используя тождества

получим

и

Если связать А и соотношением

то (8) и (9) перейдут в неоднородные волновые уравнения

и

Функции А и из которых посредством соотношений (5) и (7) можно определить В и Е, известны как магнитный векторный потенциал и электрический скалярный потенциал соответственно. Соотношение (10), связывающее оба потенциала, называется условием Лорентца. Заметим, что оно согласуется с уравнением непрерывности (1.1.5)

Легко показать, что выражения (11), (12) и (10) не определяют потенциалы однозначно. Действительно, если мы добавим к А вектор , где произвольно, то В не изменится, а если, кроме того, заменить на то Е также не изменится. Другими словами, В и Е инвариантны при преобразовании

Из (10) и (14) получим

Следовательно, А и будут удовлетворять соотношению Лорентца, если на наложить условие

Уравнения (14), подчиняющиеся условию выражают так называемое калибровочное преобразование. Калибровочное преобразование можно использовать для упрощения записи векторов поля. Например, в области с нулевой плотностью заряда величина удовлетворяет однородному волновому уравнению

тогда величину можно выбрать так, чтобы скалярный потенциал оказался равньм нулю. Согласно (146) и (16) для этого необходимо положить

Поле можно найти с помощью одного лишь векторного потенциала посредством соотношений (штрих над А опущен)

тогда как условие Лорентца переходит в

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление