Главная > Оптика > Основы оптики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ПРИЛОЖЕНИЕ 9. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВУХ ИНТЕГРАЛОВ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В П. 12.2.2

В настоящем приложении мы вычислим интегралы (12.2.8) и (12.2.9), т. е.

где

Рассмотрим два случая, а именно:

(а) , где у и - постоянные, а область интегрирования представляет собой слой

которого исключена небольшая сфера исчезающе малого радиуса с центром в начале координат или область интегрирования совпадает со всем слоем

Для вычисления применим теорему Гаусса, записанную в виде

где — произвольная векторная функция координат, - единичный вектор внешней нэомали к поверхности ограничивающем объем Положим

тогда из (1) и (4) получим

Поскольку на обеих сторонах слоя, то в случае (б) интеграл . В случае (а) мы должны также учесть вклад небольшой сферы с центром в начале координат. Если а — радиус сферы, то и этот вклад равен

Следовательно,

Прежде чем вычислять а, отметим, что интегрирование по исчезающе малой ссре с центром в начале координат не дает никакого вклада, поскольку подынтегральное выражение содержит только особенность порядка Полому в случае (а), как и в случае б), нужно интегрировать

но всему объему слоя, т. е.

где

Выберем в (10) новые независимые переменные определяемые соотношениями

где корни в (11а) и (116) берутся со знаком плюс. На плоскости кривые имеют вид эллипсов, а -угол между радиусом-вектором и большой осью эллипса. При эллипс вырождается в точку. Таким образом, всей плоскости соответствуют следующие интервалы значений Следовательно,

где

является якобианом нашего преобразования. Из (3) и (11а) находим

а из (По; имеем

Кроме того, справедливо тождество

пли, используя (3) и (11а),

Из (13), (14) и (15) следует, что

Подставим теперь (16) в (12). Интегрирование по дает сразу же множитель Интегрирование по тоже не представляет труда, и мы

получим

где на основании таких же физических соображений, как и ранее, мы отбросили осциллирующий вклад от бесконечности.

Подставляем теперь (17) в (9) и вычисляем получившийся интеграл.

Имеем

где

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление