Главная > Оптика > Основы оптики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ПРИЛОЖЕНИЕ 7. КРУГОВЫЕ ПОЛИНОМЫ ЦЕРНИКЕ

В настоящем приложении будут более подробно рассмотрены круговые полмномы, о которых мы кратко говорили в п. 9.2.1. Эти полиномы были впервые введены и исследованы Цсрнике в его важной работе, посвященной исследованию метода темного ноля и фазового контраста; затем они изучались им и Бринкманом а также Нижбером Эти полиномы были позднее выведены только из требования ортогональности и инвариантности [42]; в нашем изложении мы будем придерживаться в основном последнего исследования.

1. Некоторые общие замечания.

Нетрудно показать, что существует бесчисленное множество полных систем полиномов от двух вещественных переменных х и у, ортогональных внутри единичного круга, т. е. удовлетворяющих условию ортогональности

Здесь — два произвольных полинома системы, звездочка — комплексное сопряжение, — символ Кронекера и А — нормировочная постоянная, которая будет определена позднее. Круговые полиномы Цернике отличаются от полиноглов других систем некоторыми простыми свойствами инвариантности, которые проще всего объяснить в рамках теории групп. Однако с помощью своего рода нормировки можно избежать введения абстрактного формализма теории групп. Рассмотрим сначала такие системы полиномов, которые «инвариантны по форме» относительно поворота координатных осей вокруг начала координат. Такая инвариантность означает, что при любом повороте

каждый полином переходит в полином такого же вида, т. е. при использовании преобразования (2) V удовлетворяет следующему соотношению:

где — непрерывная периодическая функция угла поворота с периодом

Далее, осуществление двух последовательных поворотов на углы эквивалентно одному повороту на угол Следовательно, из (3) следует, что величина должна удовлетворять функциональному уравнению

Общее решение этого уравнения, имеющее период хорошо известно

Здесь I — любое целое число, положительное, отрицательное или нуль. Подставляя (5) в (3), полагая и используя (2), получим, что V должен иметь вид

где зависит только от Разложим теперь в ряд по степеням и Предположим, что V— полином степени от переменных тогда из (6) следует, что есть полином по степени и и не содержит степеней меньших Более того, является, очевидно, четным или нечетным полиномом в зависимости от четности числа I. Система круговых полиномов Цернике отличается от всех других подобных систем тем, что она содержит полином для каждой пары возможных значений (степень) и I (угловая зависимость), т. е. для всех целых значений для которых — четное число. Обозначим произвольный полином этой системы следующим образом:

Из (1) и (7) следует, что радиальные полиномы удовлетворяют соотношению

где

Для любого заданного значения I нижний индекс может принимать только значения Соответствующая последовательность получается путем ортогонализации степеней

с весовым множителем на интервале Далее, поскольку в (10) входит только модуль I, то

где постоянная, зависящая только от нормировки полиномов . В частности, она может быть выбрана так, чтобы для всех значений I и и тогда

где — неотрицательное целое число.

Система круговых полиномов содержит линейно независимых полиномов степени Следовательно, любой одночлен — целые числа) и любой полином по х и у можно представить в виде линейной комбинации конечного числа круговых полиномок Тогда в соответствии с теоремой Вейерштрасса такая система будет полной.

2. Точные выражения для радиальных полиномов

Поскольку есть полином по степени и он не содержит степени меньшей и является четным или нечетным в зависимости от того, четно или нечетно то его можно представить в виде

где — полином по степени Согласно (8)

полиномы должны удовлетворите соотношениям

Отсюда следует, что полиномы можно получить ортогонализацией последовательности натуральных степеней

с весовым множителем в области Хорошо известные полиномы Якоби (или гипергеометрические функции) (см. [44])

можно определить как функции, получающиеся при ортогонализации (15) с весовой функцией более общего вида

в области Свойства ортонормируемости этих полиномов выражаются следующим образом [45]:

где

(При таком выборе имеем для всех Сравнивая (18) и (14), получим, что

Из (13) и (20) вытекает следующее соотношение между радиальными полиномами и полиномами Якоби:

Следуя Цернике, выберем нормировку таким образом, чтобы при всех оставалось справедливым соотношение

Тогда из (21) и (22) находим

Значение можно получить с помощью производящей функции полиномов Якоби [44]. Имеем

При левая часть последнего соотношения равна и разлагая ее в степенной ряд и сравнивая с правой частью, получим

Из (25) и (23) следует, что

используя (16), (17) и (26), найдем из (21) следующие окончательные выражения для радиальных полиномов:

или

В табл. 9.1 приведены в явном виде выражения для нескольких первых полиномов.

Для нормировочной постоянной получим из (26) и (19)

Для нахождения производящей функции радиальных полиномов напишем в (21) и (26) s вместо вместо и подставим полученные выражения в (24). Тогда имеем

Наконец, вычислим интеграл

который, как мы видели в гл. 9, играет важную роль в дифракционной теории аберраций Цернике — Нижбера. Подставим в этот интеграл выражение (27) для а вместо функции Бесселя разложение в ряд [44]. В результате получим

где

- неотрицательные целые числа. Интегрируя (32) по частям , имеем

Если то первый член в правой части исчезает, так что

Рассмотрим по отдельности случаи

Когда то, применяя раз, получим

Интеграл в правой части есть интеграл Эйлера первого рода (бета-функция), который равен (см. (44]). Следовательно, при имеем

Рассмотрим теперь случай Применяя раз, получим

Подставим теперь (36) и (37) в (31) и введем такую новую переменную что Тогда

Ряд в правой части (38) есть разложение функции Поскольку — четное число, то множитель можно заменить на в результате чего получим окончательно

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление