Главная > Оптика > Основы оптики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Волновая механика свободных электронов.

В 1905 г. Эйнштейн впервые выдвинул гипотезу о двойственной природе света. Свет распространяется как электромагнитная волна, но при взаимодействии с веществом он ведег себя так, как будто его анергия сконцентрирована в фотонах, каждый из которых несет кванг энергии Вскоре гипотеза Эйнштейна получила блестящее подтверждение при наблюдениях фотоэлектрических и фотохш нческих процессов.

Предположение о двойственной природе материальных частиц принадлежит Луи де Бройлю, который в 1923 г. показал, что частице с механическим импульсом от может соответствовать (релятивистски инвариантно) только длина волны

где — универсальная постоянная с размерностью действия, которую де Бройль отождествил с постоянной Планка.

Вскоре после этого Гейзенберг, Борн и Иордан, независимо от де Бройля, предложила первую полную математическую формулировку квантовой механики, однако их методы менее удобны для обсуждения поведения свободных частиц, чем методы волновой механики Шредингера, краткое описание которой и приводится ниже.

Шредингер объединил идеи де Бройля и Гамильтона и пришел к задаче волнового описания движения частиц, которая так же связана с динамикой материальных частиц, как волновая оптика — с геометрической. Его подход, который, как мы теперь знаем, справедлив не всегда, содержал, конечно, целый ряд догадок; в самом деле, хотя геометрическая оптика логически следует из волновой, обратное утверждение неверно.

Предположим, что существует некое волновое поле, интенсивность которого характеризует плотпость электронов таким же образом, как интенсивность электромагнитного поля — плотность фотонов. Более того, предположим, что это поле скалярно и его амплитуда описывается скалярной функцией чтобы учесть волновой характер поля, будем считать, что I удовлетворяет волновому уравнению

где — скорость распространения волны, которая в общем случае является функцией координат. Это, конечно, весьма жесткое предположение, так как обычное волновое уравнение с постоянной скоростью распространения можно обобщить множеством различных способов, а данное обобщение является наиболее простым.

Выбирая в виде «монохроматической волны»

получим уравнение, не зависящее от времени

в которое входит не скорость, а только длина волны X. Предположим теперь, что X совпадает с длиной волны де Бройля, если вместо подставить значение импульса, которым бы обладала настиг) в точке согласно законам классической механики. Это значение можно вычислить С помощью (6) Для простоты рассмотрим движение медленного электрона в электростатическом поле.

Тогда из соотношения де Бройля (18) и из формулы (6) имеем

Подставляя последнее соотношение в (19), получим

Это и есть волновое уравнение Шредингера для свободной частицы в скалярном потенциальном поле. Поскольку оно не зависит от времени, его можно интерпретировать как уравнение, описывающее стационарное (например, периодическое) движение частицы в силовом поле. Однако это уравнение можно использовать и в случае стационарных пучков, с которыми обычно имеют дело в электронной оптике, когда рассматривают много частиц, появляющихся одна за другой, но находящихся в одинаковых условиях. Как в первом, так и во втором случаях разумно предположить в соответствии со статистической интерпретацией Борна, что квадрат модуля пропорционален плотности частиц в точке измеренной за длительный промежуток времени, либо, что в данном случае совпадает с этой плотностью, пропорционален вероятности нахождения частицы в данной области пространства в любой момент времени.

Справедливость уравнения (21) была впервые доказана Шредингером, который объяснил с помощью этого уравнения закономерности атомных спектров, предположив, что электрон в атоме находится в таком же силовом поле, что и в старой модели атома Резерфорда — Бора. Для пас больший интерес представляет доказательство справедливости (21) в случае свободных электронов; таким доказательством послужило открытие дифракции электронов Дэвиссоном и Джермером и независимо от них Томсоном в 1927-1928 гг.

Для медленных электронов, обладающих кинетической энергией, эквивалентной соотношение де Бройля следующее приближенное значение длины волны:

Таким образом, длины волн электронов, с которыми обычно имеют дело в лабораторных экспериментах, составляют доли ангстрема, т. е. имеют тот же порядок, что и длины волн рентгеновского излучения. Стедовагельно, волновой характер свободных электронов легче всего продемонстрировать с помощью экспериментов, сходных опытами по дифракции рентгеновских лучей в кристаллах.

Терминология, применяемая при рентгеновском анализе (которая использовалась также и в случае электронов), несколько отличается от терминологии, принятой в обычной оптике. То, что называется дифракцией рентгеновских лучей или электронов, является на самом деле интерференцией когерентных вторичных волн, испущенных более или менее регулярно расположенными атомами решетки. Дифракция электронов в смысле световой оптики на относительно крупных материальных препятствиях, атомная структура которых не играет никакой роли, происходит на весьма малые углы; впервые ее наблюдал Берш в 1940 г. в электронном микроскопе [14].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление