Главная > Оптика > Основы оптики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7. Разрывы.

Может случиться, что функция не везде непрерывна. Наиболее важен случай (часто встречающийся в оптике), когда претерпевает конечный разрыв на поверхности при всех значениях .

Очевидно, что вне этой поверхности экстремали находятся как обычно из решения уравнений Эйлера (7); однако если экстремаль пересекает поверхность, ее направление резко меняется (происходит преломление). Будем различать области слева и справа от поверхности, снабжая их соответственно индексами 1 и 2 (рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация вариационного аналога оптического закона преломления.

Для нахождения «закона преломления» выведем условие, при выполнении которого интеграл Гильберта взятый от точки находящейся слева от этой поверхности, до точки справа от нес, не зависит от пути интегрирования. Рассмотрим дна пути и где А и В — точки на поверхности. Потребуем (обозначения очевидны), чтобы или

Для замкнутого контура расположенного слева от поверхности, имеем

а для замкнутого контура справа от нее —

Складывая уравнения (48) и (49) и используя (47) и соотношение получим

Иными словами, интеграл (11), взятый по любому пути на поверхности имеет одно и то же значение независимо от того, возьмем ли мы в качестве величины , слева от нашей поверхности или справа от нее. Следовательно, в обоих случаях подынтегральные выражения равны между собой, и закон преломления эквивалентен утверждению, что выражение

непрерывно на поверхности Согласно (13) это. условие можно записать

где — производные от для произвольной кривой на поверхности. Условие (52) соответствует также утверждению, что вектор нормален поверхности разрыва, т. е.

Вывод закона отражения для экстремалей очень близок к рассмотренному выше. Для этого нужно соединить точки и расположенные по одну сторону от заданной поверхности (рис. 3) в области, где является непрерывной функцией кривой , которая терпит разрыв (меняет свое направление) в точке А на данной поверхности.

Рис. 3. Иллюстрация-вариационного аналога оптического закона отражения.

Ясно, что отрезки являются экстремалями; тогда из рассуждений, сходных с теми, которые использовались при выводе закона преломления (53), следует, что условием справедливости теоремы независимости для падающего (индекс 1) и отраженного (индекс 2) полей является закон отражения

Теорема независимости выполняется также для любых полей, имеющих конечное число разрывов непрерывности (как преломления, так и отражения). Как будет показано ниже, во вссх таких случаях интеграл (1) имеет минимальное значение независимо от того, является ли экстремаль, соединяющая точки непрерывной или терпит разрыв (изменяет свое направление) при условии, что функция удовлетворяет некоторым простым условиям вдоль этой кривой.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление