Главная > Оптика > Основы оптики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6. Частный случай, когда независимая переменная не входит явно в подынтегральное выражение.

Случай, когда не зависит явно от требует отдельного рассмотрения.

В общем случае для справедливо соотношение

Предположим теперь, что и подставим выражения для из уравнений Эйлера (7). Тогда

Следовательно,

т. е.

Полученное выражение, равное значению на экстремали, не зависит от следовательно, есть постоянная интегрирования. Тот же результат можно непосредственно получить из канонических уравнений (40), так как, если не зависит явно от величина тоже не зависит от и

последнее же выражение обращается в нуль в соответствии с (40).

В рассматриваемом случае трехмерную вариационную задачу можно свести кдвумерной. Будем считать функцией тогда

Аналогично величины тоже можно считать функциями . Решение уравнения

относительно имеет вид

Рассмотрим теперь все кривые, для которых равно некоторому заданному значению; тогда интеграл (1) можно заменить на разность двух интегралов, а именно

Если ввеети обозначение

и исключить x, у с помощью (44), то станет функцией и мы можем написать

Таким образом, для каждого значения получается вариационный интеграл с числом параметров, уменьшенным на единицу. (Такой переход соответствует в механике переходу от принципа Гамильтона к принципу Мопертюи: см. (88) ниже). Если из уравнения Эйлера, соответствующего (46), определить то полное семейство экстремалей получается путем интегрирования (44).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление