Главная > Оптика > Основы оптики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Нахождение всех экстремалей из решения уравнения Гамильтона — Якоби.

До сих пор мы рассматривали только однопараметрическое семейство решений уравнения Гамильтона—Якоби, которое соответствует двухпараметрическому семейству ортогональных экстремалей. Для получения полного четырехпараметрического семейства экстремалей необходимо рассматривать четырехпараметрическое семейство решений последнее можно получить, если поворачивать поверхность вокруг какой-нибудь точки и полагать в каждом случае Предположим, что мы нашли «полное» решение уравнения (21), содержащее два параметра а и Функцию соответствующую любой паре

значений можно представить в виде интеграла (11), не зависящего от пути интегрирования при правильном выборе функций и и V, а именно при . Следовательно, не только не зависят от пути интегрирования. Поскольку мы вправе написать

и из (11) получим

где

Аналогичные выражения справедливы и для других двух производных.

Так как величины интегралов (30) не зависят от пути интегрирования, выражения

являются полными дифференциалами; таким образом, величины и — функции только концевых точек т. е. существуют поверхности, скажем

определяемые постоянными значениями здесь постоянные. Следовательно, соотношения (33) должны быть решениями дифференциальных уравнений

Отсюда следует, что на поверхностях и тогда из (32) вытекает (34), если соответствующий определитель не равен нулю. Согласно (31) этот определитель можно записать в виде

Первый множитель в правой части равен выражению (9), которое, по предположению, отлично от нуля. Второй множитель обращается в нуль только в тех точках, где уравнения (34) не имеют решения для а и другими словами, — в точках, где экстремали пересекаются. Если исключить такие случаи, то выражения (34) будут представлять собой двухпараметрические системы дифференциальных уравнений, каждое из которых имеет решений; полная совокупность решений должна совпадать с полным четырехпараметрическим семейством экстремалей. Мы Доказали, что решения уравнений

образуют полное четырехпараметрическое семейство экстремалей; следовательно, для получения полной системы экстремалей из полного решения уравнения Гамильтона—Якоби необходимо только, согласно (33) и (36), продифференцировать его и привести подобные члены,

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление