Главная > Оптика > Основы оптики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Интеграл Гильберта и уравнение Гамильтона—Якоби.

Чтобы исследовать свойства экстремалей, удобно рассмотреть сначала другую, но связанную с этим исследованием задачу. Будем считать, что переменные и и и зависят от т. е.

Тогда и ее частные производные зависят только от Далее выберем кривую и образуем.

интеграл

Задача состоит в следующем: найти такие функции для которых интеграл не зависит от формы кривой С, а определяется лишь положением концевых точек и где имеет координаты — координаты Величина 5 называется интегралом Гильберта.

Для определения и и перепишем (11) в виде

где

Хорошо известно, что необходимым и достаточным условием того, чтобы (12) не зависел от формы кривой интегрирования С, служит обращение в нуль компонент ротора от вектора А, с проекциями т. е.

Мы получили систему из трех дифференциальных уравнений в частных производных относительно а ; эти уравнения, однако, не вполне независимы, поскольку для любых справедливо тождество для любого вектора

Если уравнения (14) удовлетворяются, то является полным дифференциалом, т. е.

и зависит только от Написав для простоты вместо получим

Возьмем теперь произвольную поверхность и в каждой ее точке проведем нормальный к ней вектор Тогда, согласно (16), , следовательно, величина

постоянна на этой поверхности. Из двух (совместных) уравнений (13) можно определить и и как функции координат поверхности; имеем

Если теперь решить дифференциальные уравнения (14) с такими граничными условиями, то мы падучим частное решение рассматриваемой задачи, а именно решение, принимающее постоянное значение на выбранной поверхности . Его можно получить из одного дифференциального уравнения в частных производных относительно функции Подставляя (19) в оставшееся уравнение (13), находим

или, используя (17),

Это уравнение называется уравнением Гамильтона — Якоби данной задачи.

Функция , принимающая постоянное значение на поверхности и удовлетворяющая уравнению (21), служит решением рассматриваемой задачи. Функции обусловливающие независимость интеграла от пути интегрирования, находят из решения любых двух из (совместных) уравнений

полученных комбинированием (13) и (17).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление