Главная > Оптика > Основы оптики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 14.2. Структура монохроматической плоской волны в анизотропной среде

14.2.1. Фазовая и лучевая скорости.

Для монохроматической плоской волны с угловой частотой которая распространяется со скоростью в направлении единичного вектора нормали векторы и В пропорциональны (в комплексной записи) Заметим сразу же, что в дополнение к фазовой скорости (или скорости по нормали) нам придется ввести еще лучевую скорость (или скорость энергии), поскольку, как будет показано далее, в анизотропной среде скорость и направление распространения энергии в общем случае отличаются от скорости волны и направления волновой нормали.

Для такого гармонического поля операция всегда эквивалентна умножению на а операция — умножению на . В частности, имеем

В области, не содержащей токов, т. е. там, где

уравнения Максвелла принимают вид

здесь использовано соотношение Исключая из уравнений (3) Н и используя хорошо известное векторное тождество, получим

Здесь обозначает векторную компоненту Е, перпендикулярную к и расположенную в плоскости векторов Ей (рис. 14.1).

Из уравнений (3) видно, что вектор Н (а следовательно, и В) перпендикулярен к векторам и которые поэтому должны быть компланарны. Кроме того, вектор должен быть ортогонален к Таким образом, как и в

изотропной среде, векторы Н и перпендикулярны к направлению распространения а Е составляет с ним некоторый угол, отличный от прямого. Рис. 14.1 показывает относительное расположение этих векторов, а также единичного вектора, направление которого совпадает с направлением лучевого вектора Этот единичный вектор перпендикулярен к Е и Н и обозначен символом Угол между Е и равный углу между и обозначим через а. Мы видим, что векторы с одной стороны, и векторы Е, Н и — с другой, образуют ортогональные тройки векторов с общим вектором Н, повернутые друг относительно друга на угол а. Таким образом, в кристалле, вообще говоря, энергия распространяется не в направлении нормали к волне. Вместе с тем теорема равенства плотностей электрической и магиитной энергий по-прежнему сохраняет свою справедливость.

Рис. 14.1. Взаимное расположение волновой нормали, векторов поля и вектора потока энергии в электрически анизотропной среде.

Это следует из уравнения (3), так как

Согласно хорошо известным свойствам смешанного произведения правые части обоих уравнений равны между собой. Кроме того, они равны так что для полной энергии имеем

Необходимо установить различие между фазовой скоростью, и скоростью распространения энергии. Направление фазовой скорости совпадает с направлением единичного вектора а величина ее равна

Направление лучевой скорости совпадает с направлением вектора Пойнтинга т. е. с направлением единичного вектора Величина ее численно равна отношению энергии, которая протекает в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную к направлению потока, к энергии единицы объема. Согласно теореме (14.1.9) имеем

Из последних трех соотношений находим

т. е. фазовая скорость равна проекции лучевой скорости на направление волновой нормали.

Следует отметить, что поскольку лучевая скорость определяется через вектор Пойнтинга, для нее также характерна известная доля неопределенности (см. § 1.1). Тем не менсс это полезная величина, хотя в отличие от фазовой скорости она не имеет такого явного физического смысла.

Если Е и известны (например, Е задано, а определяется из уравнений (14.1.1)), то можно определить показатель преломления и вектор волновой

нормали Прежде всего, так как векторная компонента Е в направлении т. е.

то из (4) получим

Далее, поскольку единичный вектор перпендикулярен к и компланарен с и Е, его можно предсгавить в виде

По аналогии с показателем преломления можно также определить лучевой, или энергетический, показатель посредством формулы

Из (7) и (9) найдем

Сейчас мы покажем, что лучевой показатель и единичный вектор расположенный в направлении распространения энергии, определяются формулами, аналогичными формулам (11) и (12). Используя (11), (14) и соотношение , получим

Единичный вектор перпендикулярен к Е и компланарен с Е и и поэтому должен определяться (с точностью до знака) формулами, которые получаются перестановкой Е и в (12). Следовательно,

Отрицательный знак при слева обеспечивает соответствие между направлениями векторов и и векторов Е и как показано на рис. 14.1.

Как (12), так и (16) сводятся к неопределенности при совпадении направлений Е и т. е. когда вектор Е направлен вдоль одной из главных осей кристалла. Этого следовало ожидать, поскольку в данном случае направления и неопределенны и известно лишь, что они должны быть перпендикулярны к Е.

Можно также выразить величину вектора Пойнтинга через Е и Учитывая, что для плоской волбы получим из (8), (13) и (15)

Как мы видим, для изотропной среды эта формула согласуется с уравнениями (1.4.8) и (1.4.9).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление