Главная > Оптика > Основы оптики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 11.9. Единственность решения

Мы видели в § 11.2, что задачу о дифракции, которой мы касались, можно сформулировать следующим образом: дано поле Ей, падающее на идеально проводящую поверхность требуется найти поле обусловленное электрическим током, распределенным по которое имеет такую величину, что и его тангенциальная составляющая на равняется тангенциальной составляющей взятой со знаком минус.

Конечно, существенно необходимо, чтобы этой формулировке соответствовала единственность решения. Однако показать, что действительно не существует другого поля удовлетворяющего поставленным условиям, совсем не просто, особенно когда допускаются бесконечные размеры 5 и учитываются поля, содержащие плоские волны. По-видимому, только сравнительно недавно появились удовлетворительные доказательства единственности 146] (см. также [45, 47]), хотя она давно молчаливо принималась.

Дополнительные трудности возникают в особом, хотя и наиболее общем случае дифракционной задачи, в которой можно предположить, что дифракционное препятствие имеет бесконечно острый край. (Фактически гакой задачей и ограничивалось содержание настоящей главы.) Причина возникновения дополнительных сложностей заключается в том, что это решение содержит, как мы видели, сингулярности на краю и тем самым нарушается предположение, необходимое для только что упомянутого доказательства единственности решения.

Легко видеть, что если допускаются произвольные сингулярности по краю, то можно получить бесконечную последовательность решений путем дифференцирования 148]. Например, дифференцирование по х решения для поляризации в задаче с полуплоскостью (см. (11.5.22)) дает по существу новое выражение, также удовлетворяющее волновому уравнению и обращающееся в нуль на экране. Дифференцирование (11.5.22) по у дает выражение, которое, очевидно, служит решением для Я-полярпзации, но отличается от (11.5.44).

Каждое дифференцирование вносит сингулярность более высокого порядка в решении для дифракционного края. Очевидно, для обеспечения единственности решения следует точно определить некоторые ограничения, налагаемые на характер сингулярности. Целесообразные ограничения и различные способы, которыми их можно сформулировать, явились предметом целого ряда статей 149]. Со всеми деталями, относящимися к этому вопросу, читатель

может познакомиться непосредственно по оригинальным статьям. Однако, вообще говоря, решения, содержащие сингулярность наинизшего порядка, следует считать ответом на физическую задачу, и это значит, что в действительности исключаются любые сингулярности более высоких порядков, чем при на дифракционном крае. В частности, можно утверждать, что решение будет единственным, если имеет место интегрируемость индуцированного тока по дифракционной поверхности исчезновение у края соответствующей компоненты, нормальной к краю. Поведение компонент векторов Е и Н вблизи края можно вывести из этих условий.

Наконец, убедившись в возможности получить бесконечное число «решений», можно задать вопрос, почему метод, использованный в настоящей главе, приводит к единственному решению, которое к тому же, если применять упомянутый выше критерий, оказывается правильным. Это объясняется допущением, что компоненты поля в плоскости экрана можно выразить в виде сходящихся интегралов Фурье, вследствие чего они не имеют также сингулярностей слишком высокого порядка.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление