Главная > Оптика > Основы оптики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8.5.2. Круглое отверстие.

Аналогичным образом можно исследовать дифракцию Фраунгофера на круглом отверстии. Для этого целесообразно использовать полярные координаты вместо прямоугольных. Пусть полярные координаты произвольной точки отверстия, т. е.

и пусть — координаты точки Р в дифракционной картине, относящейся к геометрическому изображению источника, т. е.

Из определения и следует, что равно синусу угла между направлением и центральным направлением . В таком случае, если а — радиус круглого отверстия, то дифракционный интеграл (8.3.36) принимает вид

Воспользуемся теперь хорошо известным интегральным представлением бесселевых функций

Тогда уравнение (8) сведется к

Существует также хорошо известное рекуррентное соотношение (см., например, [24] или [26])

дающее после интегрирования для

Из (10) и (12) следует, что

где Следовательно, интенсивность определяется выражением

где в соответствии с Эта широко известная формула в несколько ином виде впервые была получена Эйри [27].

Распределение интенсивности в окрестности геометрического изображения описывается функцией график которой приведен на рис. 8.11. Она имеет главный максимум при и с увеличением х осциллирует с постепенным уменьшением амплитуды подобно функции

рассмотренной в п. 8.5.1. Интенсивность равна нулю (минимум) при значениях х, определяемых Минимумы уже не строго эквидистантны (см. табл. 8.2).

Таблица 8.2

Несколько первых максимумов и минимумов функции

Рис. 8.11. Дифракция Фраунгофера на круглом отверстии.

График функции

Положения вторичных максимумов определяются значениями х, удовлетворяющими уравнению

или, пользуясь формулой (аналогичной (11))

— корнями уравнения . При увеличении х расстояния между последовательными минимумами или последовательными максимумами приближаются к , как и в предыдущем случае.

Найденные результаты показывают, что наблюдаемая картина имеет вид светлого диска с центром в геометрическом изображении источника окруженного светлыми и темными кольцами (рис. 8.11 и 8.12). Интенсивность светлых колец быстро уменьшается с увеличением радиуса и обычно только одно или два первых кольца достаточно ярки, чтобы их можно было наблюдать невооруженным глазом. Из табл. 8.2 следует, что, поскольку радиусы темных полос равны

Рис. 8.12. Картина дифракции Фраунгофера на круглом отверстии (картина Эйри) диаметром 6 мм (по Липсону, Тейлору и Томпсону). Увеличение желтая линия ртути Для еыдслсния слабых вторичных максимумов центральная часть переэкспонирована.

Расстояние между двумя соседними кольцами асимптотически приближается к величине Здесь мы снова видим, что эффективные размеры дифракционной картины обратно пропорциональны линейным размерам отверстия.

Представляет также интерес определить, какая часть полной падающей энергии приходится на центральное пятно дифракционной картины Обозначая через ту часть полной энергии, которая приходится на кружок радиуса в плоскости изображения с центром в геометрическом изображении, получим

Учитывая уравнение (15) для и умножая на получим

Поскольку выражение (17) сводится к

Эта формула была получена Рэлеем [29, 30] График функции показан на рис. 8 13. Для темных колец и следовательно, часть полной энергии вне любого темного кольца просто равна Для первого, второго и третьего темных колец равно соответственно 0,162, 0,090 и 0,062. Таким образом, более 90% света концентрируется внутри круга, ограниченного вторым темным кольцом.

Рис. 8.13 График функции , определяющей часть полной энергии, приходящейся на кружок заданного радиуса в картине дифракции Фраунгофера на круглом отверстии

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление