Главная > Математика > Алгебра свободных и скользящих векторов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 19. ТЕОРИЯ ПАР

1. Пара векторов и ее момент.

Исследование эквивалентности систем скользящих векторов и приведение их к простейшему виду базируется на основной теореме (см. стр. 141). Мы начнем изучение различных систем с весьма частной, но очень важной системы, так называемой пары векторов.

Совокупность двух равных по величине, параллельных и противоположно направленных скользящих векторов называется парой векторов, иначе говоря, парой векторов является система

Векторы, образующие пару, называются векторами пары; расстояние между линиями действия векторов пары называется плечом пары; плоскость, проходящая через линии действия векторов пары, называется плоскостью пары.

Главный вектор пары векторов равен, очевидно, нулю, поэтому главный момент этой системы не зависит от выбора полюса и одинаков для всех точек пространства (см. (14.11) и следствие 2). На этом основании главный момент системы векторов, составляющих пару, называется моментом пары, т. е.

где — момент пары и О — произвольная точка пространства (отдельные слагаемые правой части зависят от выбора полюса О, но их сумма от выбора полюса не зависит).

Момент пары векторов обладает следующими очевидными свойствами (в физике эти свойства часто служат определением пары):

1) модуль момента пары равен произведению модуля вектора пары на ее плечо:

2) момент пары перпендикулярен к плоскости пары;

3) момент пары направлен в такую сторону, из которой вращение пары кажется происходящим против хода часовой стрелки (для правой системы).

Действительно, так как правая часть равенства (19.1) не зависит от выбора точки О, то ее можно взять на линии действия одного из векторов пары, например на

Рис. 65.

Тогда (рис. 65). На основании будем иметь

где — плечо пары (при данном выборе полюса О оно является одновременно и плечом вектора

Вторые два свойства (перпендикулярность момента к плоскости пары и его направление) следуют из равенства определения момента — см. стр. 100.

Так как главный вектор пары равен нулю, а ее главный момент при не равен нулю, то пара векторов не эквивалентна нулю (см. п. 1 § 18). Кроме того, эквивалентные системы имеют равные главные векторы и главные моменты, поэтому пару векторов нельзя заменить одним вектором.

Таким образом, пара векторов представляет простейшую неуравновешенную систему векторов, которую нельзя заменить одним вектором.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление