Главная > Математика > Алгебра свободных и скользящих векторов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8. Минимальный момент и центральная ось системы.

Рассмотрим выражение для проекции главного момента на главный вектор (14.14); при этом, естественно, предполагается, что

В произведении, стоящем в левой части равенства, оба множителя зависят от выбора полюса О, но их произведение для данной системы векторов — величина постоянная. Из этого следует, что модуль главного момента достигает своего минимального значения для точек, в которых главный момент М будет параллелен главному вектору (в этих точках или имеет максимальное значение, равное единице). Величина минимального момента определяется формулой (14.15) или, что то же самое, (14.16). Заметим, что минимальный момент обращается в нуль, если второй инвариант равен нулю.

Перейдем к определению геометрического места точек, в которых главный момент М параллелен главному вектору Пусть точка принадлежит искомому геометрическому месту. Главный момент относительно точки согласно (14.10) будет равен

или

где — главный момент системы относительно начала координат.

Векторы и по предположению параллельны, следовательно, они отличаются только размерным скалярным множителем

Учитывая последнее равенство, можно написать:

где — параметр.

Этому уравнению удовлетворяют радиусы-векторы точек, для которых главный момент параллелен главному вектору Легко видеть, что последнее уравнение определяет в пространстве прямую линию, которая называется центральной осью данной системы векторов. В координатной форме уравнение (14.7) можно записать в следующем виде:

где х, у, z — координаты центральной оси.

Уравнение центральной оси (14.17) можно преобразовать к параметрической форме (11.1). Для этого умножим векторно обе части уравнения (14.17) на вектор справа:

Раскроем двойное векторное произведение [см. (10.13)]

Отсюда

При переменном выражение будет переменным. Обозначим его через X, где X — параметр. Тогда уравнение центральной оси примет вид

где

Естественно, что уравнение (14.19) эквивалентно двум уравнениям в координатной форме

причем определены равенствами:

В соответствии с определением все точки центральной оси данной системы векторов обладают следующими свойствами:

1) главный момент относительно точек центральной оси одинаков для всех точек оси;

2) главный момент, вычисленный относительно точки центральной оси, параллелен главному вектору;

3) модуль главного момента данной системы векторов, вычисленного относительно точки центральной оси, меньше модуля главного момента той же системы векторов, вычисленного относительно любой другой точки пространства.

В заключение заметим, что о центральной оси можно говорить только в том случае, когда первый инвариант не равен нулю.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление