Главная > Математика > Алгебра свободных и скользящих векторов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Момент вектора относительно точки.

В § 9 в примерах было дано определение момента вектора относительно точки, а именно: моментом вектора относительно

точки О называется векторное произведение радиуса-вектора на данный вектор Обозначается момент вектора относительно точки О символом или

где

Из этого определения вытекают следующие очевидные свойства момента вектора (рис. 52).

1. Момент перпендикулярен к плоскости, проведенной через данную точку и вектор.

2. Направлен момент в такую сторону, из которой переход от начала вектора к его концу виден справа налево (для правой системы).

Рис. 52.

3. Модуль момента равен произведению модуля данного вектора на плечо вектора (плечом вектора относительно точки называется расстояние от точки до линии действия вектора).

Действительно, из определения момента имеем:

где а — угол между векторами гл и

Из рис. 52 видно, что

Поэтому

что доказывает третье свойство.

4. Приложен момент в точке, относительно которой он вычисляется (это не является обязательным).

Примечание 1. Если точка О лежит на линии действия вектора, то его момент относительно этрй точки равен нулю

Примечание 2. Из формулы и рис. 52 следует, что модуль момента вектора относительно точки равен удвоенной площади треугольника, у которого основанием служит вектор и вершиной точка О:

Момент вектора не зависит от выбора точки ложения вектора на линии его действия. Это утверждение непосредственно следует из третьего свойства момента, однако его можно легко доказать и формально, пользуясь формулой (13.2). Действительно, возьмем на линии действия вектора две точки А и В и будем считать, что в первом случае вектор а имеет начало в точке А, а во втором случае его начало совпадает с точкой В (рис. 53).

Рис. 53.

Согласно (13.2) будем иметь

Из рис. 53 видно, что Следовательно,

Учтем теперь, что векторное произведение двух коллинеарных векторов). Поэтому

что доказывает сделанное замечание.

На этом основании при вычислении момента не обязательно указывать точку приложения данного вектора а — достаточно указать линию его действия

или еще короче

где или — радиус-вектор любой точки, лежащей на линии действия вектора. Если же нужно подчеркнуть точку приложения вектора, в частности, если речь идет о связанном векторе, то будем пользоваться обозначением (13.2).

Легко видеть, что одному и тому же моменту отвечает бесчисленное множество векторов а, моменты которых относительно данной точки О равны

Рис. 54.

Действительно, все векторы, лежащие в плоскости, проходящей через точку О перпендикулярно к и удовлетворяющие условию (13.3)

будут иметь момент относительно О, равный На рис. 54 показаны три вектора лежащие в одной плоскости, для которых Для этих векторов

будем иметь:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление