Главная > Математика > Алгебра свободных и скользящих векторов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Примеры из физики.

Операция векторного произведения, так же как и операция скалярного произведения, находит широкое применение в различных физических вопросах. Приведем несколько примеров.

1. Скорость точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси с угловой, вообще говоря, переменной скоростью со. Вектор угловой скорости направлен по оси вращения в такую сторону, откуда вращение тела видно против хода часовой стрелки (для правой системы). Возьмем в теле произвольную точку М; при вращении тела эта точка М описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна к оси вращения. Скорость точки направлена по касательной к этой окружности и по величине равна произведению модуля угловой скорости а) на расстояние от точки до оси вращения (рис. 44):

Рис. 44.

Выберем на оси вращения произвольную точку (полюс) и проведем из нее радиус-вектор точки Непосредственно из чертежа видно, что расстояние от точки М до оси вращения равно , где а — угол между и осью вращения, или . Следовательно,

Кроме того, и и из конца вектора скорости переход вращением на наименьший угол от со к виден против хода часовой стрелки. Поэтому вектор скорости равен век торному произведению:

причем точка приложения вектора-произведения совпадает с концом второго вектора-сомножителя

2. Момент вектора относительно точки. В физике важная роль принадлежит понятию о моменте вектора (момент силы, момент скорости, момент количества движения и т.

Моментом вектора а относительно произвольной точки пространства О называется векторное произведение радиуса-вектора точки приложения А, проведенного из полюса О, на вектор а:

где момент вектора а относительно точки О и (более подробно о моменте вектора см. § 13).

В соответствии с этим имеем:

а) момент силы относительно точки О:

б) момент скорости относительно полюса О:

(половина этого момента равна секторной скорости точки

в) момент количества движения материальной точки:

— масса точки).

Формулу (9.4) можно переписать в виде — см. (9.9)

или

т. е. скорость любой точки твердого тела, вращающегося с угловой скоростью , равна моменту угловой скорости относительно выбранной точки.

Приведем еще два примера без подробных пояснений.

3. Электрон в магнитном поле. Сила с которой действует постоянное магнитное поле на электрон, равна

где — заряд электрона, — его скорость, Н — напряженность магнитного поля, с — электродинамическая постоянная. В данном случае векторное произведение, равное силе приложено к электрону.

4. Кориолисово ускорение. Если точка движется относительно некоторой перемещающейся системы отсчета, то помимо относительного и переносного ускорений возникает дополнительное поворотное ускорение, определяемое формулой

где — поворотное ускорение (ускорение Кориолиса), — угловая скорость вращения системы отсчета и — относительная скорость точки.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление