Главная > Математика > Алгебра свободных и скользящих векторов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Линейная зависимость четырех векторов.

Покажем, что между любыми четырьмя векторами и

трехмерного евклидова пространства существует линейная зависимость.

Действительно, если векторы а, b и с компланарны, то на основании теоремы они линейно зависимы, т. е. справедливо равенство

где хотя бы одно из чисел не равно нулю. Но тогда будет справедливо и такое равенство:

что доказывает линейную зависимость четырех векторов Если же векторы а, b и с не компланарны, то вектор можно всегда разложить по этим трем векторам (см. (4.3)):

или

Так как , то векторы и линейно зависимы.

Следствия теорем позволяют дать другое доказательство единственности разложений (4.1) и (4.3). Действительно, рассмотрим для примера разложение (4.3)

и предположим, что существует второе разложение вектора по тем же некомпланарным векторам а, b и с

где и — некоторые числа. Вычитая почленно из первого равенства второе, получим

Так как векторы а, b и с по условию не компланарны, то это равенство возможно только в том случае, если

т. е. , что доказывает единственность разложения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление